第三节 重力模型法 （Gravity Model）,主要内容,理论概述 参数标定 无约束模型（简单模型） 单约束模型 双约束模型 模型理论解释 重力模型特点 分布模型选择 思考题,,一、重力模型理论,GM模型描述： 交通区i、j之间出行量与交通区i的产生量、交通区j的吸引量的乘积成正比，与交通区i、j之间的交通阻抗R（时间、费用、距离等）成反比 1955年Casey第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间购物出行预测GM模型：模拟物理学中的牛顿的万有引力定律，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比重力模型法（GM）认为交通区i到j的出行分布量不仅与社会经济因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等阻碍因素有关，考虑较全面 重力模型的基本公式为：,其中， Pi，Pj——小区i，j的人口数； Oi，Dj——小区i，j的产生交通量与吸引交通量； R——小区i，j间的阻抗（距离、费用等）； k,α,,——模型参数Casey模型,,,,模型式分子：产生分布交通量的驱动因素，α,通常称为潜能系数，在0.5-1.0取值，一般取1； 模型式分母：阻抗，为阻抗系数,表示道路建设水平指标， =0.5~3.5 。
当Cij0时，tij +∞，与实际不符！,,f（Cij）称为阻抗函数，它是减函数，当出行阻抗Cij （距离、时间、费用等）增加时函数值降低 常用的阻抗函数形式有：,（1）指数形式,（2）幂形式,（3）综合函数,对于公式：,,在现状OD表已知的条件下，Oi, Dj, Cij和tij已知，k,α,,可以用最小二乘法求得对（7.3.1）式取对数:,已知,,,,,,多元回归分析式,,,,,,二、重力模型参数标定,（7.3.1）,已知,现状OD表,小区之间阻抗表,假设α,均为1，请标定重力模型的参数k和 例题：参数标定,解：,一元线性回归公式,令,则： Y=,,,采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224,由此求得：k=0.0036; =0.5224,,X=,,,不考虑未来P、A的约束，直接用公式和标定的参数对未来的Tij进行预测 例如：将未来的P、A、Cij代入前面公式：,即可得到未来年份的出行分布矩阵三、无约束重力模型,无约束模型的计算结果，由于不考虑未来P、A的约束，可能与给定的产生量P、吸引量A差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才能使用见课本P140-143例题。
为了避免预测与理论数值差别过大的情况，需对重力模型进行约束通常有单约束、双约束、三约束等只服从其中的一个约束，就称为单约束重力模型如果两个条件约束都服从，则称为双约束重力模型注意事项,,四、单约束重力模型,,推导过程 乌尔希斯模型 美国公路局模型,S.t.,,或,1、推导过程,,,2、乌尔希斯模型,S.t.,,S.t.,P、A——预测年份的产生和吸引量P、A——预测年份的产生和吸引量约束P,约束A,,,,,求解思路： （1）用现状OD矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数γ； （2）用未来的P、A、距离矩阵、参数γ计算未来的分布矩阵 （3）此处采用约束P的方法解：假设阻抗函数为,小区1总体可达性,,（1）假设γ=1，首先检验γ=1是否合理交通区1：,根据,计算小区1到各小区出行量：,交通区2：,交通区3：,8 14 10,,可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生量O约束，没有满足现状吸引力D约束D,,,（2）计算未来的交通分布矩阵 交通区1：∑A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25 T(1,1)=16*8/25=5.12 T(1,2)=16*7/25=4.48 T(1,3)=16*10/25=6.4 交通区2：∑A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52 T(2,1)=28*4/52=2.15 T(2,2)=28*28/52=15.08 T(2,3)=28*20/52=10.77,交通区3：∑A3/C3j=16/4+28/2+40/2=38 T(3,1)=40*4/38=4.21 T(3,2)=40*14/38=14.74 T(3,3)=40*20/38=21.05 未来OD矩阵为：,由于为单约束P，此处A约束不满足.,,3、美国公路局重力模型,S.t.,Kij为调整系数，采用试算法确定。
当Kij =1时，即为乌尔希斯重力模型λij—i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之比，λij=tij/t’ij； Yij—i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行产生量之比，Yij=tij/Oi五、双约束重力模型,双约束重力模型公式 参数标定方法 例题,,现状阻抗函数,,S.t.,,1、双约束重力模型公式,S.t.,,推导过程：,,2、双约束重力模型计算步骤,第一步，给参数γ取初值γ可用最小二乘法标定，若无法标定，则令γ =1； 第二步，用迭代法求约束系数以幂指数交通阻抗 为例,（1）令m=0，m为计算次数2） 令,（3）求出,第三步，将求得参数代入，用现状OD值求现状理论分布表｛ ｝ 第四步，计算现状实际OD分布表的平均交通阻抗 ，再计算理论分布表中的平均交通阻抗： ，求两者相对误差4） 收敛判定若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重复计算第五步，如果 满足要求(3%)，则接受γ的求解，否则： ①若 ，则理论分布量小于实际， 应减少γ的值，可令γ＝ γ／2； ②若 ，则理论分布量大于实际，应增大γ的值，令γ＝2 γ； ③返回第一步，重新计算。
现状OD表,小区之间现状阻抗表,假设α,均为1，求双约束重力模型的公式 3、例题,解：,第一步，给出参数γ初始值，令γ=1第二步，采用迭代法求约束系数ai，bj第一次迭代令b3=b4=b5=1，则：,用a1，a2的数值求解b3，b4 ，b5 ，则：,第二次迭代求解新的a1，a2数值，则：,用a1，a2的数值再次求解b3，b4 ，b5 ，为：,b3=0.8957， b4=1.0643 ， b5 =1.2618,第三次迭代求解新的a1，a2 ，b3，b4 ，b5数值，结果与第二次迭代相同，满足收敛条件（3%)，停止迭代第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值……. 求出各交通区之间的理论分布值为：,,第四步，检验根据实际OD和理论OD表求得平均交通阻抗：,认为γ=1可以接受六、三维约束重力模型 （Tri-proportional Gravity Models）,OD矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件 例如，某个区域中有四类出行，如下表所示：,,如果各类出行总量已知，例如: ∑A=XXX 或∑ B=XX 或∑ C=X 或∑ D=XXXX 则可看作对双约束又增加一维约束 不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也可以有三维约束，原理同三维重力模型法。
七、模型理论解释,概率论解释 信息论解释,了解即可，详细见课本P146页优点：①直观上容易理解；②能考虑路网的变化和土地利用对出行的影响；③特定区的现有OD交通量为零时，也能预测；④能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况 缺点： ①虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，但没有考虑出行者的个体因素影响； ②交通区内出行交通量无法求出； ③若交通小区之间的距离非常小时，有夸大预测的可能性八、重力模型的特点,,九、交通分布模型的选用,重力模型法能够考虑路网阻抗的变化，要求数据不苛刻，可用于封闭区域各种交通规划 增长系数法可以作为重力模型法的补充，在重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用（例如课本P142）；也可以用于预测城市外部交通量及公路铁路交通量1、根据现状OD表、将来产生生与吸引交通量、现状及将来阻抗矩阵，分别采用无约束、单约束、双约束重力模型，求出将来OD表收敛标准ε=1%假设重力模型公式如下：,答案：,,现状行驶时间,将来行驶时间,现状OD与未来PA,,十、思考与习题,2、思考：,费用矩阵及OD,重力模型标定TLD目标值,请采用三维约束法标定重力模型参数了解，答案略）,,谢 谢！,,。