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1、专题2.5 数列中的最值问题（讲）-2017年高考二轮复习数学（文）数列中的最值问题在高考中出现的频率较高，注意考查：等差数列前n项和的最值问题和数列与函数、不等式的结合。等差数列前n项和的最值问题是高考考查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中档题；数列与函数、不等式的结合，是高考考查的重点和热点，重点考查利用数列的相关知识和函数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式，为解答题的一个小题，难度为中档偏上试题.1 等差数列中的最值问题 求等差数列前n项和的最值问题的方法： （1）二次函数法：将看成关于n的二次函数，运用配方法，借助函数
2、的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n是正整数这一条件. （2）通项公式法：若是等差数列，求前项和的最值时， 若，且满足，则前项和最大; 若，且满足，则前项和最小. （3）不等式法：借助取最大值时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应的值（即为的最值）.例 1 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】在等差数列中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ ）A21 B20 C. 19 D18【答案】B例2 【2016届北京市石景山高三上学期期末考试】已知数列是等差数列，则前项和 中最大的是（ ） A B或 C或 D【答案】B.2 数列与函数、不等式的结合中的最值问题
3、(1)求数列的前n项和的最值，主要是两种思路：研究数列的项的情况，判断的最值；直接研究的通项公式，即利用类型2的思路求的最值. (2) 求数列的最值，主要有两种方法：从函数角度考虑，利用函数的性质，求数列的最值；利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况. (3)对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法：通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；通过分类讨论，解决恒成立.例3 【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】数列中，（其中），则使得成立的的最小值为 （ ）A B C D【答案】B【解析】由，得 ， 由上可知，数列是以为周期的周期数列，又，数列的前项和小于，加上为大于，使得成立的
4、的最小值为故选：B例 4 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）.例 5 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列中，已知，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围【答案】（1）详见解析（2）【反思提升】数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想 (如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 或 )等.已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：（1）将和转化为项,即利用将和转化为项.（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式
