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1、1首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函 数零、极点相消之间的关系。考虑单变量系统，其动态方程为(3-22)式对应的传递函数为：一、可控性、可观测性与零极点对消问题3-2单变量系统的实现2定理3-6 动态方程(3-22)可控、可观测的充分必要 条件是g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和N(s)无非常 数的公因式。证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0 既 使N(s0)=0，又使D(s0)=0：利用恒等式3将s= s0代入，可得将上式前乘 c、后乘 b 后即有式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有，依次类推可得4这组式子又可写成因为假设动态方程可观测，上式中前面的
2、可观性矩阵 是可逆矩阵，故5考虑到式(1-45)，我们有这与系统可控的假设相矛盾。6矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零 、极点相消的现象。充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态 方程(3-30)是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设 (3-30) 是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36) 的形式，并且可知这时传递函数， 7在上面的式子中，D(s)是n 次多项式，而D1(s)是n1次多 项式，由于系统不可控，所以 n1 n，而N(s)和D(s)无 相同因子可消去，显然这和两者应相等矛盾。证完。8推 论1) 单输入系统(A, b)
3、可控的充分必要条件是adj(sIA)b 与D(s)= (s)无非常数公因式; 2) 单输出系统(A, c)可观的充分必要条件是 cadj(sIA)与D(s)= (s)无非常数公因式。 对单输出系统亦有类似的结论。9零极对消问题小结一、若 cadj(sIA)b与A的特征式(s)有公因子ss0 , 则s0 或是不可控模态，或是不可观模态，或是既 不可控又不可观的模态；若 adj(sIA)b与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可 控模态若cadj(sIA)与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可观 模态10二、 若 adj(sIA)与(s)有零、极对消，则ad(sIA)b 与(s)有零、极对消；
4、c adj(sIA)与(s)有零、极对消；即使adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能 adj(sIA)b与(s) 、 c adj(sIA)与(s)都有零 、极对消。11例题 1不可控模态：1；不可观模态：1；adj(sIA)与 (s) 有 s=1 对消；adj(sIA)b与(s)有s=1 对消；cadj(sIA)与(s)有s=1 对消。 12adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能有既不 可控又不可观的模态。见下面的例2。例题2不可控模态：3、4, adj(sIA)b 与 (s)可对消 (s3)(s4)；不可观模态：2、4, cadj (sIA)与 (s)可对消 (s2)(s4)
5、；既不可控又不可观的模态：4 , (但 adj(sIA)却与 (s)无对消！)。13总结例1和例2：既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b 与(s)有 零、极对消，也使cadj(sIA)与(s)有零、极对消；反之，即使adj (sIA)b与(s)有零、极对消、 cadj(sIA)与(s)有零、极对消，也不一定adj(sIA) 与(s)有零、极对消,也不一定有既不可控又不可观的 模态。 14adj(sI-A)与(s) 有s-s0对消有既不可控又不可 观的模态s-s0 。adj(sI-A)b与(s) 有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s) 有s-s0对消。无必然 联系adj(sI-
6、A)b与(s) 有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s) 有s-s0对消。反之不成立反之不成立15(3-30) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递 部分 所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。设给定有理函数二、有理传递函数的最小实现16要求寻找 （A, b, c），使得并且在所有满足(3-33)式的（A, b, c）中，要求 A 的 维数尽可能的小。下面的讨论中总假定g(s)的分子和 分母无非常数公因式。对(3-33)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)问题的提法是：给定严格真有理函数 171. 可控标准形的最小阶实现 (3-34)：具体构造如下：181)193)20
7、(3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定 是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的 传递函数。由于已经假设g(s)无零、极点对消，故可知 (3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递 函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的 就是(3-34)的最小阶动态方程实现。212. 可观标准形的最小阶实现222324252627可控和可观标准型实现小结1) 在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是 可观标准型均是最小实现；2) G(s)实现为可控标准型 (Ac,bc,cc)时,其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。283) G(s)的可观控标准型(Ao,co,bo)：其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。293. 若当标准形实现30则因31
