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1、Fourier 级数周期函数与三角级数 三角函数系的正交性与Fourier级数 周期函数的Fourier展开（正弦和余弦级数 ） 0, l上函数的Fourier级数（奇、偶延拓） Fourier级数的复数形式2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一、周期函数与三角级数例：非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月7南京航空航天大学
2、理学院 数学系三角级数谐波分析三角级数2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系问题：n1 f(x) 满足什么条件时，才能展开为三 角级数？n2 如果 f(x) 能展开为三角级数，展开式 中的系数如何确定？ 2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系1.三角函数系的正交性三角函数系二、三角函数系的正交性和Fourier级数2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系正交函数系2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系2.傅里叶级数为周期的函数定理1 如果以在区间上能展开为可逐项积分的级数：则其系数公式为Fourier 级数2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数
3、学系傅里叶系数2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系三、周期函数的Fourier展开首先考虑如下问题:1 正弦级数和余弦级数2 以2L为周期的Fourier级数2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.解所给函数满足狄利克雷充分条件.2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系和函数图象为2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系所求函数的傅氏展开式为2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学
4、系注意: 对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足狄氏充 分条件,也可展开成傅氏级数.作法:2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在收敛于 .2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系所求函数的傅氏展开式为2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系利用傅氏展开式求级数的和2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有
5、一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1 正弦级数和余弦级数注意到奇函数和偶函数在对称区间积分的性 质，可以得到下面的结论2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系定义2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系解所给函数满足狄利克雷充分条件.2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系和函数图象2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系观 察 两 函 数 图 形2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系解所给函数满足狄利克雷充分条件,
6、在整个 数轴上连续.2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系定理代入Fourier级数中2 以2L为周期的Fourier级数2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系则有2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系则有证明2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系解2007年8月39南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月40南京航空航天大学 理学院 数学系解2007年8月41南京航空航天大学 理学院 数学系
7、2007年8月42南京航空航天大学 理学院 数学系另解2007年8月43南京航空航天大学 理学院 数学系四、0, l上函数的Fourier级数非周期函数的周期性延拓则有如下两种情况2007年8月44南京航空航天大学 理学院 数学系奇延拓:2007年8月45南京航空航天大学 理学院 数学系偶延拓:2007年8月46南京航空航天大学 理学院 数学系解 (1)求正弦级数.2007年8月47南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月48南京航空航天大学 理学院 数学系(2)求余弦级数.2007年8月49南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月50南京航空航天大学 理学院 数学系五、Fouri
8、er级数的复数形式以2L为周期的函数的傅里叶级数为2007年8月51南京航空航天大学 理学院 数学系代入欧拉公式2007年8月52南京航空航天大学 理学院 数学系傅里叶系数的复数形式傅里叶级数的复数形式2007年8月53南京航空航天大学 理学院 数学系解2007年8月54南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月55南京航空航天大学 理学院 数学系播放1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近小结2007年8月56南京航空航天大学 理学院 数学系思考题2007年8月57南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答2007年
9、8月58南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月59南京航空航天大学 理学院 数学系练 习 题2007年8月60南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案2007年8月61南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月62南京航空航天大学 理学院 数学系练习题2007年8月63南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月64南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案2007年8月65南京航空航天大学 理学院 数学系练 习 题2007年8月66南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月67南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案2007年8月68南京航空航天大学 理学院 数学系20
10、07年8月69南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月70南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月71南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月72南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；
11、 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月73南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月74南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月75南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月76南京航空航天大学 理学院
12、 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月77南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月78南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月79南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月80南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月81南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月82南京航空航天大学 理学院 数学系小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义整体逼近2007年8月83南京航空航天大学 理学院 数学系
