《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值教学案苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值教学案苏教版选修2-2（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案11 13.33.3 最大值与最小值最大值与最小值对应学生用书 P191问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学2如图为yf(x)，xa，b的图象问题 1：试说明yf(x)的极值提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值问题 2：你能说出yf(x)，xa，b的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的3函数yg(x)，yh(x)
2、在闭区间a，b的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)问题 1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数yg(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数yh(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)问题 2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定问题 3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案21最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一
3、(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一2求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值1函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性
4、，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值3极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值对应学生用书P19求函数的最大值与最小值例 1 求函数f(x)x42x23，x3,2上的最值思路点拨 求fx令fx0得 到相应的x的值列表确定函数取极值的点求极值与端点 处的函数值比较大小 确定最值精解详析 f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案3得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)
5、的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值 4极小值 3极大值 45所以当x3 时，f(x)取最小值60；当x1 或x1 时，f(x)取最大值 4.一点通 求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于 2 或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解1已知函数f(x)x312x8 在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m.则Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.计算f(3)
6、17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：322求函数f(x)ex(3x2)在区间2,5上的最值解：f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9 时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线
7、，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且 2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9 时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3 时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当30)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)h(t)2t恒成立，从而可转化为求h(t)2t的最大值问题解决苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案7精解详析 (1)f(
8、x)t(xt)2t3t1(xR R，t0)，当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)2tt33t1.则g(t)3t233(t1)(t1)令g(t)0，得t11，t21(舍去)列表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值 1由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值 1.h(t)g(t)在(0,2)内恒成立m1.即实数m的取值范围是(1，)一点通 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min
9、.5已知g(x)ln xa，若g(x)ln xx2，故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立设h(x)ln xx2，则h(x) 2x，1 x12x2 x由h(x)0 及 00，当0 时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0 时，(xk)f(x)x10 等价于k0)x1 ex1令g(x)x，则x1 ex1g(x)
10、1.xex1 ex12exexx2 ex12由(1)知，函数h(x)exx2 在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在惟一的零点故g(x)在(0，)上存在惟一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得 e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k1.15 4而f(2)4435，因此f(a)a22a3，15 4解得a (舍去)或a .3 21 2答案：1 25函数f(x)ax44ax3b(a0)在1,4)上的最大值为 3，最小值为6，则ab_.解析：f(x)4ax312ax2(a0，x1,4)由f(x)
11、0，得x0(舍)，或x3，可得x3 时，f(x)取到最小值为b27a.又f(1)b3a，f(4)b，因此f(4)为最大值由Error!解得Error!所以ab.10 3答案：10 3二、解答题6已知函数f(x)aln x1(a0)(1)若a2，求函数f(x)在(e，f(e)处的切线方程；(2)当x0 时，求证：f(x)1a.(11 x)解：(1)当a2 时，f(x)2ln x1，f(x) ，f(e)3，kf(e) ，2 x2 e所以函数f(x)在(e，f(e)处的切线方程为y3 (xe)，2 e苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案11即 2xeye0.(2)令g(x)f
12、(x)1a(11 x)aln xa(x0)，(11 x)则g(x) ，由g(x)0，得x1.a xa x2ax1 x2当 0x1 时，g(x)0，g(x)在(0,1)上单调递减；当x1 时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增所以g(x)在x1 处取得极小值，也是最小值因此g(x)g(1)0，即f(x)1a.(11 x)7已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解：(1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)3.函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)结合(
13、1)，令f(x)0，得x1 或x3.又x2,2，x1.当20.x1 是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22，f(2)81218aa2.a22a2，f(x)maxa2220，a2.此时f(x)mina5257.8已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1 处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案12解：由题意知f(1)3c.因此bc3c，从而b3.对f(x)求导，得f(x)4ax3ln xax4 4bx3x3(4aln xa4b)1 x由题意知f(1)0，得a4b0，解得a12.因为f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.当 01 时，f(x)0，此时f(x)为增函数所以f(x)在x1 处取得极小值f(1)3c，并且此极小值也是最小值所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可整理得 2c2c30，解得c 或c1.3 2所以c的取值范围为(，1.3 2，)
