《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.1.23.1.2 不等式的性质不等式的性质1掌握不等式的性质 2能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明不等式的性质 (1)对称性：ab_. (2)传递性：ab，bc_. (3)加法法则：ab_. 推论 1 abca_； 推论 2 ab，cdac_. (4)乘法法则：ab，c0_；ab，c0_. 推论 1 ab0，cd0_； 推论 2 ab0anbn(nN N，n1)； 推论 3 ab0(nN N，n1)nanb在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一 个数时，必须
2、能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定 【做一做 1】已知ab，则下列各式中正确的个数是( ) acbc；acbc；(ab)c0. A0 B1 C2 D3 【做一做 2】已知ab，cd，e0，则ace_bde(填“”或“”)【做一做 3】已知ab0，c0，则 _ (填“”或“”)c ac b一、不等式的性质的应用误区 剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们 成立的条件，盲目套用，例如： (1)ab，cdacbd，已知的两个不等式必须是同向不等式； (2)ab0，且cd0acbd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的 两边必须为正值； (3)ab0a
3、nbn(nN N，n1)及ab0(nN N，n1)，成立的条件是nanb已知不等式的两边为正值，并且nN N，n1，否则结论就不成立假设去掉b0 这个条 件，取a3，b4，n2，就会出现 32(4)2的错误结论；又若去掉了“nN N，n1”这个条件，取a3，b2，n1，又会出现 3121，即 的错误1 31 2结论 对于性质 4 的推论 2 和推论 3，在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有： abanbn(n2k1，kN N)，ab(n2k1，kN N)nanb2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2(1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式 (2)性质 3
4、是不等式移项法则的基础 (3)性质 3 的推论 2 是同向不等式相加法则的依据(4)若ab且ab0，则 .若ab，且ab0，则 ，即“同号取倒数，方向改1 a1 b1 a1 b变，异号取倒数，方向不变” (5)若ab，cd，则acbd.(6)若ab0，cd0，则 .a db c二、教材中的“？” 在解一元一次不等式 3x25x1 的过程中，应用了不等式的哪些性质？ 剖析：不等式的解运用性质3x25x12x3移项：性质 3 的推论 12x3同乘1：性质 4x3 2同乘 ：性质 41 2题型一 判断真假 【例 1】下列命题中，一定正确的是( )A若ab，且 ，则a0，b01 a1 bB若ab，b0
5、，则 1a bC若ab，且acbd，则cd D若ab，且acbd，则cd 反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不 能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特 殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单， 便于验证计算 题型二 应用不等式的性质证明不等式【例 2】已知a，b为正实数，求证：.abbaab分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变 形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另 一种是先平方，再根据两式特点变形比较
6、大小 反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或n次方作差) 变形确定符号得出结论其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目 的，证题的思路体现了数学中的转化思想这里，关键的步骤是对差式的变形 题型三 不等式性质的实际应用2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3【例 3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积但按采光标准，窗 户面积与地板面积的比值应不小于 10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好试问： 同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理 由分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b
7、，根据题意知ab且 10%，a b然后设同时增加的面积为m，得到ambm，用比较法判断与 的大小即可am bma b反思：一般地，设a，b为正实数，且ab，m0，则 .利用这个不等式，可am bma b以解释很多现象，比如b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0 且未达到饱 和状态)，则糖水变甜了再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是 因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比 0.618，从而带给观众更美的享受 题型四 易错辨析【例 4】已知，求 2的取值范围 2 2错解：，2. 2 2又，. 2 2 2 22.3 23 2错因分析：
8、2的取值范围可看做()的取值范围，因为忽视了不等式 自身的隐含条件0 而导致扩大了取值范围1ab可以推出( )A Bac2bc21 a1 bC D(ac)2(bc)2a c2b c22 若 0，则下列结论不正确的是( )1 a1 bAa2b2 Babb2C 2 D|a|b|ab|b aa b3 已知a0，1b0，则下列不等式成立的是( ) Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 4 已知abc，且abc0，则b24ac的值的符号为_ 5 实数a，b，c，d满足三个条件：dc，abcd，adbc，则将 a，b，c，d按照从大到小的次序排列为_ 答案：答案：2017-201
9、8 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4基础知识基础知识梳理梳理 (1)ba (2)ac (3)acbc cb bd (4)acbc acbc acbd 【做一做 1】A 【做一做 2】 【做一做 3】 典型例题典型例题领悟领悟【例 1】A 对选项 A， ，0.1 a1 bba ab 又ab，ba0，ab0，a0，b0；对选项 B，当a0，b0 时，有 1，故 B 错；a b 对选项 C，当a10，b2，c1，d3 时，虽然 10123，但 13，故 C 错； 对选项 D，当a1，b2，c1，d3 时， 有(1)(1)(2)3，但13，故 D 错【例 2】证明：证法一：()()()()a
10、bbaababbbaaabbbaa.(ab)(r(a)r(b)ab(r(a)r(b)(r(a)r(b)2ab 因为a，b为正实数，所以0，0，()20.ababab于是有0.当且仅当ab时，等号成立(r(a)r(b)(r(a)r(b)2ab所以，当且仅当ab时，等号成立abbaab证法二：因为()22，()2ab2，所以()abbaa2 bb2 aababababba2()22(ab2)，因为aba2 bb2 aababa3b3ab(ab) ab(ab)(ab)2 aba，b为正实数，所以0，所以()2()2.又因为0，(ab)(ab)2 ababbaababba0，所以，当且仅当ab时，等号
11、成立ababbaab 【例 3】解：解：变好了理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知ab且 10%.a b由于 0，am bma bm(ba) b(bm)于是 .又 10%，am bma ba b因此 10%.am bma b 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了【例 4】正解：正解：， 2 2 2 2. 2 2 . 又，0， 0，2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案52 . 23 2 随堂练习随堂练习巩固巩固 1B c20，ab，ac2bc2. 2D 可取特殊值，令a1，b2 代入验证知选项 D 不正确 3D 本题可以根据不等式的性质来解，由于1b0，所以 0b21.所以 aab20，且ab0，易得答案 D.本题也可以根据a，b的取值范围取特殊值，比如令a1，b ，也容易得到正确答案1 2 4正 abc0， b(ac)， b2a2c22ac. b24aca2c22ac(ac)2. ac，(ac)20. b24ac0，即b24ac的符号为正 5bdca 由可得，dbca；由可得，cabd，于是有 dbbd，acca，db，ac.再由dc可得：bdca.
