《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：1.2应用举例学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：1.2应用举例学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案11.21.2 应用举例应用举例1了解实际问题中所涉及的名词和一些术语 2会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度 及角度等实际问题1实际应用问题中的有关术语 (1)铅直平面：指与_垂直的平面 (2)仰角和俯角：指在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角中，视线在水平线 _的角叫仰角，视线在水平线_的角叫俯角如图(1)所示(3)方位角：以指北方向线作为 0，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角如 图(2)所示 (4)方向角：相对于某一_的水平角，如北偏东 60. (5)坡角与坡度：坡面与_的夹角叫坡
2、角，坡面的_与_的比叫 做坡度(或坡比) 设坡角为，坡度为i，则i_，如图(3)所示 【做一做 1】已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的 北偏东 40，灯塔B在观测站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( ) A北偏东 40 B北偏西 10 C南偏东 10 D南偏西 10 2三角形中的有关公式和结论 (1)在直角三角形中各元素间的关系在ABC中，若C90， ABc，ACb，BCa，则有： 锐角之间的关系：_； 三边之间的关系：_； 边角之间的关系：(锐角三角函数的定义) sin Acos B_，cos Asin B_，tan A_. (2)斜三角形中各元素间的关系 在
3、ABC中，若角A，B，C为其内角，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，则有： 角与角之间的关系：ABC；sin Asin B_，特别地，在锐角 三角形中，sin Acos B，sin B_cos C，sin C_cos A； 边与边之间的关系：abc，bca，_，abc，bca，_； 边角之间的关系： 正弦定理：_(R为外接圆半径)；2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2余弦定理：_，_，_；它们的变形形式有：a_，_，cos A_.sin A sin B(3)三角形中的角的变换及面积公式 角的变换 因为在ABC中，ABC，所以 sin (AB)_；cos(AB)_；
4、tan(AB)_.sin _，cos _.AB 2AB 2面积公式的有关变换Sabsin C_(R为ABC外接圆的半径)；1 2abc 4RSr(abc)(r为三角形内切圆的半径)1 2【做一做 21】一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成 30角，树干底部与树尖 着地处相距 10 m，则树干原来的高度是( ) A(2010) m B(1020) m33C(2020) m D(1010) m33【做一做 22】在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圆的半径为，则33边c的长为_【做一做 23】在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为_sin C sin B3解应用题的一般思路
5、(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系 (2)根据题意画出示意图，把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中，将实际问题抽 象成解三角形模型 (3)选择正弦定理或余弦定理求解 (4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中单位、近似计算的要求这一 思路描述如下：【做一做 31】如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当 用第_组数据，a，b； ，a； a，b，；2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3，b. 【做一做 32】在 200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30， 60，则塔高为_ m.实
6、际问题中度量A，B两点的长度(高度)的方法 剖析：(1)求距离问题 如图，当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离两点间不可到达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达当A，B两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解， 则AB.a2b22abcos C当A，B两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再 运用正弦定理求解 A(BC)，根据正弦定理，得AB sin CBC sin ABC sin BCBC sin BC，a sin BC则AB.asin C sin BC当A，B两点都不可达时，先在ADC和BDC中分别求出AC，BD，再在ABC或 ABD中
7、运用余弦定理求解先求：ADsinACD；a sinADCACD再求：BDsinBCD；a sinBDCBCD最后：AB.AD2BD22ADBDcosADB将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形 往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角 形提供必要的条件 (2)求高度问题 如图，当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度，有如下情况底部可达底部不可达2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4当BC底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则ABatan C 当BD不可达时，在 RtABD中，BD，AB t
8、anADB在 RtABC中，BC，AB tanACBaCDBCBD.AB tanACBAB tanADBAB.a 1 tanACB1 tanADB在BCD中，BCsin Da sinBCDDABBC ，BACACB 2在ABC中，ABsinACBsinACBBC sinBACBC cosACBABsinACB.a sinBCDD sin DcosACBasin DtanACB sin BCDD在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中， 我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是 画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解
9、题型一 测量距离问题 【例 1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km 的C，D两点，3并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面 内)，求两目标A，B之间的距离分析：要求出A，B之间的距离，可在ABC(或ADB)中去找关系，但不管在哪个三角 形中，AC，BC这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然 后解斜三角形即可 反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型在解这类问题时，首先要 分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两 个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离
10、问题转化为应用余弦定理求三角形的边 长问题 题型二 测量高度问题2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5【例 2】如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线 AB，AB20 m，在A处测得P点的仰角OAP30，在B处测得P点的仰角OBP45， 又测得AOB60，求旗杆的高度h.(精确到 0.1 m)分析：先在 RtPAO和 RtPBO中求出AO，BO，再在AOB中由余弦定理求出h. 反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再 者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序 题型三 测量角度问题 【例 3
11、】如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东 45方向，距A 9 海里的B处，并 以 20 海里/时的速度沿南偏西 15方向行驶，若甲船以 28 海里/时的速度行驶，应沿什么 方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到 1 度)分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在ABC中，AC，BC可用t来表示，进而利 用余弦定理求得t，解此三角形即可 反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已 知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解 题型四 面积问题 【例 4】在半径为R的扇形OAB中，圆心角AOB60，在扇形内有一个内接矩形， 求内接矩形的最大面积 分析：扇形内
12、的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重 合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形我们分别求出这两种类型的矩形的最大面 积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积 反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定 理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解 题思路 题型五 易错辨析 【例 5】某观测站C在城A的南偏西 20的方向上，由城A出发的一条公路，走向是 南偏东 40，在C处测得公路上距C31 km 的B处有一人正沿公路向城A走去，走了 20 km 后到达D处，此时C，D间的距离为 21 km，这人还要
13、走多远才能到达城A? 错解：如图所示，CAD60.2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6在BCD中，由余弦定理，得 cos B，BC2BD2CD2 2BCBD312202212 2 31 2023 31所以 sin B.1cos2B12 331在ABC中，AC24.BCsin B sinCAB在ACD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD， 即 212242AD224AD， 所以AD15 或AD9， 所以这人还要走 15 km 或 9 km 才能到达城A 错因分析：没有及时检测，题目中ACD为锐角三角形，故应舍去AD9 的情况1 如图，在河岸AC测量
14、河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )Aa和c Bc和b Cc和 Db和 2 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏 东 20，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔A与B的距离为( ) Aa km Ba km3Ca km D2a km23 某人向正东方向走了x km 后向右转了 150，然后沿新方向走了 3 km，结果离出发 点恰好km，那么 x_.34A，B是海平面上的两个点，相距 800 m，在A点测得山顶C的仰角为 45， BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C在海平面上的射影，则山高CD 为_ 5 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量， A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距 离请设计一个方案：包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用 文字和公式写
