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1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案12.3.12.3.1 等比数列等比数列1理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列 2掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题 3了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的定义 如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比都等于_，那么这个数 列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母_表示定 义表达式为_(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此q也不能为 0. (2)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄 颠倒 (3)“
2、从第 2 项起”是因为首项没有“前一项” ，同时注意如果一个数列不是从第 2 项 起，而是从第 3 项或第 4 项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列， 这时可以说此数列从第 2 项起或第 3 项起是等比数列 (4)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但 却是不同的常数，这时此数列不是等比数列 【做一做 1】下列数列中，等比数列的个数是_ 1，2，4，8；1，3，3；1,1,1,1；a，a，a，a.332等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则通项公式为_其中，a1，q均 不为 0.等比数列的通项公式ana1qn1的另
3、外一种形式为anamqnm. 【做一做 2】在等比数列an中，a18，a464，则公比q为( ) A2 B3 C4 D8 3等比中项 如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中 项，即_等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等 比中项，即a an1an1，反过来，如果a，b同号，G或，即G2ab，那么G2nabab是a，b的等比中项(1)x，G，y成等比数列等价于“G2xy”(x，y均不为 0)，可以用它来判断或证明三 数成等比数列，要注意“x，G，y成等比数列”与“G”是不等价的，而应与“Gxy”等价xy(2)当x，y同号时，x，y的
4、等比中项有两个，异号时没有等比中项 (3)在任意两个非零实数x和y之间，也可以插入n个数使之成为等比数列但要注意： 在实数范围内，当xy0 时，x，y之间可以插入任意个数；当xy0 时，在x和y之间只2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2能插入偶数个数使之成为等比数列 【做一做 3】若 2，x,2成等比数列，则x的值是( )33A1 B1 C1 D2一、解读等比数列的主要性质 剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用 性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质等比数列有 以下性质： (1)两个等比数列的积仍为等比
5、数列 (2)在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq. (3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之 积 (4)在等比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比 数列，公比为qk1. (5)当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lg an是公差为 lg q的等差数 列 (6)当m，n，p(m，n，pN N)成等差数列时，am，an，ap成等比数列 (7)等比数列an中，若公比为q，则数列an仍是公比为q的等比数列；若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列是公比为1 an的等比数列；|an|是公比为
6、|q|的等比数列1 q二、求数列通项公式的方法 剖析：1.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公 式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可 2若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式anError!用此公式时我们应当注意 结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二为一” ，即a1和 an(n2)合为一个表达式 3对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列，其中f(n)是等差数列 或等比数列，可以根据递推公式，写出n取 1 到n时的所有的递推关系式，然后将它们分 别相加(或相乘)即可得到通项公式 4有些数列本身并不是等差数列
7、或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差 数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法例如：在数列an中，a11，a22，an2an1an，我们在上式的两边减去an1，得2 31 3an2an1 (an1an)，即可构造一个等比数列来解决问题1 3当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转 化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项 三、教材中的“？” 1为什么q0？等比数列中的项有可能等于 0 吗？ 剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为 0，除数也不可能为 0，故 q0，在等比数列中，各项都不会为
8、0.2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案32等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公 式？ 剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公 式，然后利用迭乘的方法证明得ana1qn1. 3你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？ 剖析：当a10，q1 或a10,0q1 时，数列an为递增数列； 当a10,0q1 或a10，q1 时，数列an为递减数列； 当q1 时，数列an为常数列； 当q0 时，数列an为摆动数列 四、教材中的“思考与讨论” 对于例 3 中的数列，你是否发现a5，a10，a15，
9、a20恰好成等比数列？你能说出其中的 道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？ 剖析：在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个 等比数列题型一 等比数列定义的应用 【例 1】已知数列的通项公式为an32n，试问：这个数列是否为等比数列？ 分析：可用定义法、等比中项法证明 反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：an1 anaanan2(an0)2n1题型二 等比数列的通项公式的应用 【例 2】在等比数列an中， (1)a42，a78，求an； (2)a2a51
10、8，a3a69，an1，求n. 分析：先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量 反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，解 法一是常规解法，先求a1，q，再求an，解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求 a1和q，这也是常见的解法 题型三 等比数列性质的应用 【例 3】已知数列an为等比数列，若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项 公式 分析：本题主要考查等比数列的性质“若pq2n，则apaqa(p，q，nN N)”2n的应用反思：若三个数成等比数列，则可设为 ，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2.若四个a q
11、数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，aq，aq3，因为这个数列的a q3a q公比为q2，漏掉了公比为负值的情况 题型四 构造等比数列求通项公式 【例 4】(1)在数列an中，a11，an12an1，求通项公式an.2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4(2)在数列an中，a12，an1，求通项公式an.2an an1(3)在数列an中，a13，an1a，求通项公式an.2n分析：对所给递推关系进行适当的变形，构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题构 造等比数列的方法一般有：配常数、取倒数、取对数等 反思：有些数列本身并不是等差、等比数列，但是通过适
12、当的变形，可以构造出等差、 等比数列因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式，以及对应方法 题型五 易错辨析 【例 5】在等比数列an中，若a3a4a6a781，则a1a9的值为( ) A3 B9 C3 D9 错解：an为等比数列，a3a7a4a6a1a9. (a1a9)281.a1a99.故选 D. 错因分析：忽视了在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件【例 6】已知一个等比数列的前四项之积为，第 2 项与第 3 项的和为，求这个等1 162比数列的公比错解：依题意，设这四个数为，aq，aq3，a q3a q则Error!Error!由得a ，1 2代入并整理， 得q2
13、2q10，2解得q1 或q1，22原等比数列的公比为q232或q232.22错因分析：从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为，aq，aq2，公比为q2，就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么同为a q3a q负，而题设中无此规定1 给出下列命题：(1)若，则a，b，c成等比数列(abc0)；(2)若a bb cb2ac，则a，b，c成等比数列；(3)若an1anq(q为常数)，则an是等比数列其中正 确的命题有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2 在等比数列an中，a32，a78，则a5( ) A4 B4 C6 D4 3 在等比数列an中，公
14、比为q，若amxan，则x等于( ) Aq Bqnm Cqmn D12017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案54 在等比数列an中，a3 ，a5 ，则a10_.4 38 35 在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插 入的两个数是_ 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理1第 2 项 同一个常数 公比 q(q0) q(n2)an an1 【做一做 1】3 若常数列的各项不为零，那么它也是等比数列，所以是等比数列； 是首项为1，公比为 2 的等比数列；是首项为 1，公比为的等比数列；中a的3 值没确定，当a0 时，这四个数不能构成等比数列 2ana1qn1 【做一做 2】A 由等比数列的通项公式，有a4a1q3，即 648q3，所以q2. 3G2ab 【做一做 3】C 由题意，得x2(2)(2)1，x1.33 典型例题典型例题领悟领悟【例 1】解：解：解法一：2(常数)，an1 an3 2n1 3 2n an是等比数列 解法二：an132n1，an232n2， anan232n32n2922n2a，2n1 an是等比数列 【例 2】解：解：(1)解法一：因为Error! 所以Error!Error!由，得q34，从而q，
