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1、1.1 命题及其关系1.1.1 命 题命题Error!Error!1如果一个语句是命题，它必须具备哪些特征？ 提示：一个语句是命题，必须具备两个特征：是陈述句，可以判断真假 2命题“当 x2 时，x23x20”的条件和结论各是什么？ 提示：命题“当 x2 时，x23x20”的“若 p 则 q”形式为：若 x2，则 x23x20，因此它的条件是 x2，结论是 x23x20.考点一命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由：(1) 是有理数；3 (2)若 a 与 b 是无理数，则 ab 是无理数； (3)3x25； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)x2x70； (6)810.自主解答 (1)
2、“ 是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题3(2)“若 a 与 b 是无理数，则 ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题 (3)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题 (4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(5)因为 x2x7(x )20，所以“x2x70”是真的，故是命题12274(6)“810”是假的，所以是命题 1.命题是可以判断真假的陈述句，因此疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题。 2.对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命 题，若不能，就不是命题。 3.有一些语句目前无法判断真假，但从事物的本质而论，
3、这些语句是可以判断真假的， 尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。1判断下列语句是否为命题？并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)空集是任何集合的真子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x3. 解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题； (2)是陈述句，能判断真假，是命题； (3)不是陈述句，不是命题； (4)是陈述句，不能判断真假，不是命题.判断下列命题的真假，并说明理由 (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若 x3 或 x7，则(x3)(x7)0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若 a、b 都是奇数，则 ab 必是奇数 自主解答 (1)是假命题
4、，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论， 故为假命题 (2)是真命题，x3 或 x7 能得到(x3)(x7)0. (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形 (4)是真命题， 令 a2k11，b2k21(k1，k2Z)， 则 ab2(2k1k2k1k2)1， 显然 2k1k2k1k2是一个整数， 故 ab 是奇数若将例 2(4)中“ab”改为“ab”则结果如何？ 解：取 a3，b7，则 ab10 为偶数，故而命题错误，为假命题 1.一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可，给出一个命题，判断它的真假时， 需经过严格的推理论证，而要说明它是一个假命题，只需举一个反
5、例即可。 2.数学中的定义、定理、公理、公式都是真命题。2下列命题中真命题有( ) mx22x10 是一元二次方程；抛物线 yax22x1 与 x 轴至少有一个交点； 互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：中当 m0 时，是一元一次方程； 中当 44a1 时，函数 yax 是增函数； (3)菱形的对角线互相垂直 解：(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等其中条件 p：一个三角形是 等边三角形，结论 q：它的三个内角相等 (2)若 a1，则函数 ya2是增函数其中条件 p：a1，结论 q：函数 yax是增函数 (3)若四边形是菱
6、形，则它的对角线互相垂直其中条件 p：四边形是菱形，结论 q：四 边形的对角线互相垂直【解题高手】 【妙解题】已知 A：5x1a，B：x1，请确定实数 a 的范围，使得利用 A，B 构造的命题“若 p， 则 q”为真命题 巧思 先确定 A、B 哪一个作为 p，哪一个作为 q，然后在 p 可以推出 q 的情况下，通 过解不等式即可确定 a 的取值范围 妙解 若视 A 为 p，则命题“若 p，则 q 为“若 x，则 x1” ，1a5由命题为真命题可知1，解得 a4，1a5 即当 a4 时， “若 5x1a，则 x1”为真命题 若视 B 为 p，则命题“若 p，则 q”为“若 x1，则 x” ，由命
7、题为真命题可知1，1a51a5 解得 a4. 即当 a4 时， “若 x1，则 5x1a”是真命题。1下列语句不是命题的是( ) A3 是 15 的约数 B15 能被 5 整除吗？ C3 小于 2 D1 不是质数 解析：因为 B 选项中为疑问句，故不是命题 答案：B 2下列命题，是真命题的是( ) A若 ab0，则 a2b20 B若 ab，则 acbc C若 MNM，则 NM D若 MN，则 MNM解析：A 中，a0，b0 时，a2b20 不成立；B 中，c0 时不成立；C 中， MNM 说明 MN.故 A、B、C 皆错误 答案：D 3下列命题中真命题的个数为( ) 面积相等的三角形是全等三角
8、形； 若 xy0，则|x|y|0； 若 ab，则 acbc； 矩形的对角线互相垂直 A1 B.2 C3 D4 解析：错；中 x3，y0，则 xy0，但|x|y|0，故错；正确；中矩形的 对角线相等不一定互相垂直 答案：A 4把命题“末位数字是 4 的整数一定能被 2 整除”改写成“若 p，则 q”的形式为 _ 答案：若一个整数的末位数字是 4，则它一定能被 2 整除 5下列命题： yx23 为偶函数；0 不是自然数；xN|00 的解集 D作ABCEFG 解析：A 选项不是陈述句，C、D 选项中的语句是祈使句，都不是命题 答案：B 2下列命题是真命题的是( ) A所有质数都是奇数 B若，则 ab
9、abC对任意的 xN，都有 x3x2成立 D方程 x2x10 有实根 解析：选项 A 错，因为 2 是偶数也是质数；选项 B 正确；选项 C 错，因为当 x0 时 x3x2不成立；选项 D 错，因为 1243x；x|x210 其中命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3解析：是命题，且是假命题；、不能判断真假不是命题；不是陈述句，不是命 题 答案：B 4设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(ab)c(ca)b；|a|b|0 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值范围是_ 解析：“3mx2mx10 恒成立”是真命题，需对 m 进行分类讨论 当 m0 时，10 恒成立，所以 m0
10、 满足题意； 当 m0 时，且 m212m0 恒成立，所以 00 不恒成立 综上知 0mb，则 AB； (2)相等的两个角的正弦值相等； (3)若 x22x30，则 x3； (4)若 xA，则 xAB. 自主解答 (1)逆命题：在ABC 中，若 AB，则 ab.真命题； 否命题：在ABC 中，若 ab，则 AB.真命题； 逆否命题：在ABC 中，若 AB，则 ab.真命题； (2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题； 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题； 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题 (3)逆命题：若 x3，则 x22x30.真
11、命题； 否命题：若 x22x30，则 x3.真命题； 逆否命题：若 x3，则 x22x30.假命题 (4)逆命题：若 xAB，则 xA.真命题； 否命题：若 xA，则 xAB.真命题； 逆否命题：若 xAB，则 xA.假命题 要写出一个命题的其他命题形式，先将命题写成“若 p，则 q”的形式，找到命题的条 件和结论，然后根据四种命题之间的关系，写出其他命题形式。2在命题“若 a3，则 a6” 的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是 _ 解析：容易判断，命题“若 a3，则 a6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假， 从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若 a3，则 a6” ，是假命题，而
12、否命 题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题 答案：2考点三 逆否命题的应用证明：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.自主解答 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数， a，bR， 若 ab2，则 m2n22” 由于 mn2，则 m2n2 (mn)2 222，1212 所以 m2n22. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.【解题高手】 【易错题】将命题“当 a0 时，函数 yaxb 是增函数”写成“若 p，则 q”的形式，并写出其否 命题 错解 “若 p，则 q”的形式：若 a0， 则函数 yax
13、b 是增函数 否命题：若 a0， 则函数 yaxb 是减函数 错因 对“a0”的否定是“a0” ，对“yaxb 是增函数”的否定是“yaxb 不是 增函数” ， 而“不是增函数”与“是减函数”是有区别的，如 a0 时，yb 不是增函数， 但不能说是减函数 正解 “若 p，则 q”的形式：若 a0， 则函数 yaxb 是增函数 否命题：若 a0，则函数 yaxb 不是增函数1命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A “若一个数是负数，则它的相反数不是正数” B “若一个数的相反数是正数，则它是负数” C “若一个数不是负数，则它的相反数不是正数” D “若一个数的相反数不是
14、正数，则它不是负数” 解析：若原命题记作“若 p，则 q” ，则 A 为“若 p，则綈 q” ；B 为“若 q，则 p” ；C 为“若綈 p，则綈 q” ；D 为“若 q，则綈 p” 故 B 正确 答案：B 2一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中( ) A真命题的个数一定是奇数 B真命题的个数一定是偶数 C真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D以上判断均不正确 解析：根据四种命题间的相互关系， “原命题”与它的“逆否命题”同真假，原命题的 “逆命题”与它的“否命题”同真假，故真命题是成对出现的 答案：B 3命题“若 m10，则 m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真 命题是( ) A原命题、否命题 B原命题、逆命题 C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题 解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题 答案：C 4 “若 a1，则 a21”的逆否命题是_，为_(填“真”或“假”)命题 答案：若 a21 则 a1 真 5有下列四个命题： 命题“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆
