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1、高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 1第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理
2、解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数一、集合1. 集合
3、概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示为 aM. 高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 2集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, , an, Mx | x 具有性质 P . 例如 M(x, y)| x, y 为实数, x 2y21. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自
4、然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R 表示所有实数构成的集合 , 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z, n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集. ,| 互 质与且 qppqN子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B . 例如, N Z
5、Q R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 AB, 即ABx|xA 或 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中
6、进行, 所研究的其他集合 A 都是 I 的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的 余集或补集, 记作 AC. 集合运算的法则: 设 A、B 、C 为任意三个集合, 则(1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); 高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 3(4)对偶律 (AB)CAC BC, (AB)CAC BC. (AB)CAC BC 的证明: x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC, 所以(A
7、 B)CAC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x , y), 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即AB(x, y)|xA 且 yB. 例如, RR( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设 a1 时, y1x. y2例如 ; ; f(3)134. )(f 2)(f2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集
8、XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方. 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数
9、 yf(x)的图形在直线 y M 和y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 1这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的 . f)(2)函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当x1 f(x2), 高等数学教案 第一
10、章 函数与极限高等数学课程建设组 8则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间(, 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（ , ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数.
11、yx 3, ysin x 都是奇函数, ysin xcos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有f
12、 1(y)x. 这就是说, 反函数 f 1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的. 一般地, yf(x ), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数 . 相对于反函数 yf 1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数 . 把函数 yf(x)和它的反函数yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上 , 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是因为如果P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按
13、反函数的定义, 有 af 1(b), 故 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点 , 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 复合函数: 高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 9复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数 yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数,
14、它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 , 即gfo( )fg(x). o与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 的条件是 : 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)f必须含在 f 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为 1, 1, 在 上21)(xgu1 ,23 ,1有定义, 且 g(D)1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数, xD; 21arcsin但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2 均不在yarcsin u 的定义域 1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f
