《3.3+向量组的秩及最大线性无关组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3+向量组的秩及最大线性无关组（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 向量组的秩,一 两个向量组的问题,设向量组,如果（1）中的每个向量都可以被（2）中的向量线性表出，则称向量组（1）可以被向量组（2）线性标出； 若向量组（1）、（2）可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。,向量组的等价特点：,（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性 ；,定理1,如果向量组（2）可以由向量组（1）线性表出，且ts, 则向量组（2）线性相关。证明（不要求掌握，参考课本P278）,推论：如果向量组（2）线性无关，且它可以由向量组（1）线性表出，则t=s,定义 设 是m个n元向量。若其中存在r个向量线性无关，但任意r+1个向量都线性相关，则称向量组 的秩为r,记为秩 。,例
2、,求此向量组的秩！,定理 向量组 线性相关的充分必要条件是：秩 m,定义 设向量组 的秩为r,则 中任意r个线性无关的向量都称为 的极大线性无关部分组，简称为极大无关组。,例研究下列向量组的极大无关组,解,整理得到,性质 向量组与其任一极大无关组都等价。,性质,定理 一个向量组的秩是唯一的。,定理 一个向量组的极大无关组并不唯一。,定理 若向量组（1）可以由向量组（2）线性表出，则向量组（1）的秩小于等于向量组（2）的秩。,推论 若向量组（1）、（2）等价，则这两个向量组的秩相等。,推论 一个向量组的两个最大线性无关组等价；向量组和它的最大线性无关组等价。,向量组的秩和最大线性无关组的求法,定理：对矩阵A作初等行变换化为矩阵B，则矩阵A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。,求法：只要把矩阵A作初等行变换化为阶梯型矩阵B，就很容易确定矩阵B中的列向量的最大线性无关组，从而可以确定矩阵矩阵A的最大线性无关组。,例题：设向量组,求此向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其余的向量用这个极大线性无关组表示出来。,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性,2 关于向量组秩的一些结论：,3 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,作业：P303,15.18.（3）、（4）,
