《3.3+向量组的秩及最大线性无关组》由会员分享,可在线阅读,更多相关《3.3+向量组的秩及最大线性无关组(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 向量组的秩,一 两个向量组的问题,设向量组,如果(1)中的每个向量都可以被(2)中的向量线性表出,则称向量组(1)可以被向量组(2)线性标出; 若向量组(1)、(2)可以互相线性表出,则称这两个向量组等价。,向量组的等价特点:,(1)自反性;(2)对称性;(3)传递性 ;,定理1,如果向量组(2)可以由向量组(1)线性表出,且ts, 则向量组(2)线性相关。证明(不要求掌握,参考课本P278),推论:如果向量组(2)线性无关,且它可以由向量组(1)线性表出,则t=s,定义 设 是m个n元向量。若其中存在r个向量线性无关,但任意r+1个向量都线性相关,则称向量组 的秩为r,记为秩 。,例
2、,求此向量组的秩!,定理 向量组 线性相关的充分必要条件是:秩 m,定义 设向量组 的秩为r,则 中任意r个线性无关的向量都称为 的极大线性无关部分组,简称为极大无关组。,例研究下列向量组的极大无关组,解,整理得到,性质 向量组与其任一极大无关组都等价。,性质,定理 一个向量组的秩是唯一的。,定理 一个向量组的极大无关组并不唯一。,定理 若向量组(1)可以由向量组(2)线性表出,则向量组(1)的秩小于等于向量组(2)的秩。,推论 若向量组(1)、(2)等价,则这两个向量组的秩相等。,推论 一个向量组的两个最大线性无关组等价;向量组和它的最大线性无关组等价。,向量组的秩和最大线性无关组的求法,定理:对矩阵A作初等行变换化为矩阵B,则矩阵A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。,求法:只要把矩阵A作初等行变换化为阶梯型矩阵B,就很容易确定矩阵B中的列向量的最大线性无关组,从而可以确定矩阵矩阵A的最大线性无关组。,例题:设向量组,求此向量组的秩和一个最大线性无关组,并把其余的向量用这个极大线性无关组表示出来。,最大线性无关向量组的概念:最大性、线性无关性,2 关于向量组秩的一些结论:,3 求向量组的秩以及最大无关组的方法:将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵,然后进行初等行变换,四、小结,作业:P303,15.18.(3)、(4),