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1、浙江省新阵地教育联盟2025届第一次联考数学试题卷命题：天台中学 蒋永存李明 磨题：安吉高级中学 焦晓东 湖州二中 费凡 校稿：李慧华吕金晶一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到，再由交集运算即可.【详解】所以故选:D2. 已知平面向量，则（ ）A. 2B. 10C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解即可.【详解】，.故选：A.3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）A 15B. C. 270D. 【答案】A
2、【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式解决问题.【详解】设二项展开式的第项为：，由.所以含项的系数为：.故选：A4. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 或【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得,即，解得或，故选：C5. 函数与的图象的交点个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像即可判断交点个数.【详解】画出与的图像如图所示：根据图像可知，交点个数是个.故选：C.6. 若随机变量，则下列选项错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合
3、期望、方差结论逐个验证即可.【详解】对于A选项，变量，这里，所以，A选项正确.对于B选项，因为正态分布图象关于对称，.根据正态分布的对称性，B选项正确.对于C选项，若，则.对于，根据期望的性质.所以，C选项正确.对于D选项，若，则，对于，根据方差的性质.所以， D选项错误.故选：D.7. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可.【详解】因为底面，底面，即，根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，而，则，取的中点，连接，所以，易知，则，所以
4、三棱锥的外接球的球心为F，该外接球的体积为.故选：B8. 北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球.依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】设各层的小球个数为数列an，利用，可得，利用等差数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数.【详解】设各层的
5、小球个数为数列an，由题意得，因为，可得，则，因为前7层小球总个数为168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即该垛积第一层的小球个数为个.故选：B.二多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 某地区5家超市销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）有如下一组数据：超市ABCDE广告支出（万元）1461014销售额（万元）620364048下列说法正确的是（ ）参考公式：样本相关系数A. 根据表中数据计算得到与之间的经验回归方程为，则B. 与之间的样本相关系数C. 若残差的平方和越小，则模型的拟合效果
6、越好D. 若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元【答案】AC【解析】【分析】计算样本中心点并代入线性回归方程可得从而判断A，利用可判断B，由残差概念可判断C，由线性回归方程只能进行数据估计可判断D.【详解】由题意，样本中心点为，代入中，可得，故A正确；由，得，所以，故B错误；由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额估计值为（万元），但不一定是17.6万元，故D错误.故选：AC.10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）A. 三角形的周长是12B. 若双曲
7、线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为C. 若，则的位置不唯一D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确；【详解】由题意可得双曲线，圆心坐标，半径，A，所以三角形的周长是12，故A正确；B，由题意可设双曲线的方程为或，变形为标准形式或，又双曲线的焦距为8，所以，所以双曲线为或，故B错误；C，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，所以轨迹方程为，圆心坐标代入椭圆方
8、程可得，所以圆心在椭圆上，又点是圆上点，画出图形可得所以，的位置不唯一，故C正确；D，由双曲线的定义可得，所以，所以，因为，所以当三点共线时，取得最小值，又因为的最小值为，所以的最小值是，故D正确；故选：ACD.11. 已知增函数的定义域为正整数集，的取值也为正整数，且满足.下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 对任意正整数，都有【答案】ABD【解析】【分析】列出的值，归纳规律，可得问题结果.【详解】因为为正整数，且单调递增.因为（若，则，所以矛盾），所以或（且）若（且），令，则；再令，则，因为，所以，即，这与矛盾.所以不成立.所以.所以；又因为为正整数，且单调递增，所以；可得下表：1
9、23456789101112131415162356791112131415171921232417181920212223242526272829303132252627282930313335373941434547483334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626365故AB正确；因为：，所以，故D正确；因为，故C错.故选：ABD【点睛】方法点睛：先确定f1的值，因为，且，所以或，若根据继续往下推，得到的结果就不满足单调递增，所以成立.第卷三填空题：本题共3小题，共15分.12. 已知复数，则_.【答案】【解析】
10、【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后利用复数模的运算公式求解即可.【详解】，故.故答案为：13. 已知是等差数列的前项和，若，则_.【答案】3【解析】【分析】由题意得，进一步由等差数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意，所以，所以（为公差）.故答案为：3.14. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是_.【答案】【解析】【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片
11、数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；其中三张卡片数字之和为12的组合有；共5种情况；当甲抽取的数字为；时，乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；当甲抽取的数字为时，若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种；所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及
12、数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知数列an的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数.【答案】（1）证明见解析， （2）12【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列的通项公式即可；（2）利用分组求和法求得，记，判断出单调递增，再分别取和验证即可.【小问1详解】因为，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；所以，所以；【小问2详解】由（1）知，记，则，所以单调递
13、增，当时，不符合；当时，所以最大值为12.16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中点，证明：；（2）若，求平面与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先依次证明，由线面垂直判定定理可得平面，进一步结合线面垂直性质即可得证；（2）思路一：建立适当的空间直角坐标系求出两个平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解；思路二：用定义法说明是二面角的平面角，进一步计算即可求解.【小问1详解】是中点，平面平面平面，平面，又与是平面内的两条相交直线，平面，；【小问2详解】解法一：（坐标法）过作于平面平面平面，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，令，解得，所以平面的一个法向量为，平面与平面所成的角记为，即平面与平面所成角的正切值是，解法二：（几何法）记平面与平面的交线为，平面平面，即直线两两平行，又平面平面，平面与平面所成角与二面角的平面角互余，过作于平面平面平面，过点作于，连接是二面角的平面角，平面与平面所成角的正切值为，即平面与平面所成角的正切值是.17. 平面内有一点和直线，
