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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第三单元导数及其应用第第19讲讲定积分及简单应用定积分及简单应用 1.了了解解定定积积分分的的实实际际背背景景，了了解解定定积积分分的的基基本本思思想想，了了解解定定积积分分的概念的概念. 2.了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义.1.下列积分的值为下列积分的值为1的是的是( )CA. B.C. D. =x =1.102.曲曲线线y=cosx(0x )与与坐坐标标轴轴所所围围成成图图形的面积是形的面积是( )BA.2 B.3 C. D.4 由由曲曲线线y=cosx(0x )的的图图象象及及面面积积意义知
2、，所求面积为意义知，所求面积为S= |cosx|dx=3 cosxdx= 3sinx =3.20p3. |x|dx等于等于 ( )CA. xdx B. (-x)dxC. (-x)dx+ xdx D. xdx+ (-x)dx 因为因为|x|= x (x0) -x (x0),所以所以 |x|dx= (-x)dx+ xdx.4.一一物物体体在在力力F(x)=4x-1(单单位位：N)的的作作用用下下，沿沿着着与与力力F相相同同的的方方向向,从从x=1运运动动到到x=3处处(单位单位:m),则力则力F所做的功为所做的功为( )DA.8 J B.10 JC.12 J D.14 J 由变力做功公式有由变力做
3、功公式有W= (4x-1)dx=(2x2-x) =14 J.315.做做匀匀变变速速直直线线运运动动的的物物体体，初初速速度度为为30 m/s,t s后后的的速速度度v=30-1.5t-4 ，则则该该物物体体停止运动时，运动的路程是停止运动时，运动的路程是 m. 设物体经过设物体经过t s后停止后停止.由由30-1.5t-4 =0,得得t= ,所以运动路程为所以运动路程为s= (30-1.5t-4 )dt=(30t- t2- )=30 - ( )2- = (m).091001.定积分的概念定积分的概念如如果果函函数数f(x)在在区区间间a,b上上连连续续，用用分分点点a=x0x1xi-1xix
4、n=b将将区区间间a,b等等分分成成n个个小小区区间间，在在每每个个小小区区间间xi-1,xi上上任任取取一一点点i(i=1,2,n),作作和和式式 f(i)x= .当当n时时，上上述述和和无无限限接接近近某某个个常常数数，这这个个常常数数叫叫做做函函数数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，上的定积分， 记记作作： f(x)dx,即即 f(x)dx= .a与与b分分别别叫叫做做积积分分下下限限与与积积分分上上限限，区区间间a,b叫叫做做积积分分区区间间，函函数数f(x)叫叫做做被被积积函数，函数，x叫做积分变量，叫做积分变量，f(x)dx叫做积式叫做积式. (1)定积分定积分 f(x)dx是
5、一个常数；是一个常数； (2)定积分的几何意义：定积分的几何意义： ()当当函函数数f(x)在在区区间间a,b上上恒恒为为正正时时,定定积积分分 f(x)dx的的几几何何意意义义是是由由曲曲线线 和和直直线线 所所围围成成的的曲曲边梯形的面积边梯形的面积(如图中阴影部分如图中阴影部分). y=f(x)x=a, x=b(ab), y=0 ()一一般般情情况况下下定定积积分分 f(x)dx的的几几何何意意义义是是介介于于x轴轴，函函数数y=f(x)的的图图象象以以及及直直线线 , 之之间间的的曲曲边边梯梯形形面面积积的的代代数数和和(如如图图)，其其中中在在x轴轴上上方方的面积取正号的面积取正号,
6、在在x轴下方的面积取负号轴下方的面积取负号.x=ax=b (3)定积分的性质定积分的性质. kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数为常数)； f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx; f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中其中acb). 2.微积分基本定理微积分基本定理 如如果果f(x)是是区区间间a,b上上的的连连续续函函数数，并并且且 ,则则 f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a)，其中，其中F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数.F(x)=f(x)ba 3.求定积分的方法求定积分的方法 (1)定义法：定义法： ()分割：分割：n等分区间等分区间a
7、,b； ()近似代替：取点近似代替：取点ixi-1,xi，用，用f(i)近似地代替近似地代替f(x)在在xi-1,xi上的函数值上的函数值; ()求和求和 f(i); ()取极限取极限: f(x)dx= f(i). (2)利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx. ()求求f(x)的一个原函数的一个原函数F(x); ()计算计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分. 4.定积分的简单应用定积分的简单应用 (1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积的面积. (2)定积分在物理中的应用：定积
8、分在物理中的应用： 求求变变速速直直线线运运动动的的路路程程:s= (v(t)为速度函数为速度函数). 求变力所做的功求变力所做的功:W= .v(t)dtF(x)dx题型一题型一 定积分的概念及几何意义定积分的概念及几何意义例例1 求下列定积分：求下列定积分：（1） dx；（2） (4-x-|x-2|)dx. （1）因因为为 dx表表示示曲曲线线y= 与与直直线线x=，x=1及及x轴轴所围成的面积（如图），所围成的面积（如图），所以所以 dx= . (2) (4-x-|x-2|)dx= (4-x)dx- |x-2|dx表表示示OBD的的面面积积与与OAE及及ABC和和的的差差(如图如图), 故
9、故 (4-x-|x-2|)dx= 44-2 22=4. 解定积分的概念，利用定积分的解定积分的概念，利用定积分的几何意义求定积分是常用技巧之一几何意义求定积分是常用技巧之一. (2010广东潮州调研广东潮州调研)已知已知f(x)为偶函为偶函数且数且 f(x)dx=8，则，则 f(x)dx等于等于( )DA.0 B.4 C.8 D.16 原式原式= f(x)dx+ f(x)dx，因因为为原原函函数数为为偶偶函函数数，所所以以在在y轴轴两两侧侧的的图象对称，所以对应的面积相等，图象对称，所以对应的面积相等， 则则 f(x)dx=2 f(x)dx=16. 计算下列定积分计算下列定积分:(1) (2s
10、inx-3ex+2)dx;(2) (sinx-sin2x)dx；(3) dx.题型二题型二 定积分的计算定积分的计算例例2 (1) (2sinx-3ex+2)dx=2 sinxdx-3 exdx+2 dx=2(-cosx) -3ex +2x=-2(cos-cos0)-3(e-e0)+2(-0)=7-3e+2.(2)函数函数y=sinx-sin2x的一个原函数为的一个原函数为 y=-cosx+ cos2x,所以所以 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) =(- - )-(-1+ )=- .0000(3)原式原式= dx= |sinx-cosx|dx= |sinx-cosx|
11、dx+ |sinx-cosx|dx= |cosx-sinx|dx+ |sinx-cosx|dx= sinx+cosx) -(cosx+sinx)=2( -1).0 利利用用微微积积分分基基本本定定理理求求定定积积分分，其其关关键键是是求求出出被被积积分分函函数数的的原原函函数数.求求一一个个函函数数的的原原函函数数与与求求一一个个函函数数的的导导数数是是互互逆逆运运算算,因因此此应应熟熟练练掌掌握握一一些些常常见见函函数数的的导导数数.此此外外,如如果果被被积积函函数数是是绝绝对对值值函函数数或或分分段段函函数数，那那么么可可以以利利用用定定积积分分的的性性质质 f(x)dx = f(x)dx
12、+ f(x)dx，根根据据函函数数的的定定义义域域,将将积积分分区区间间分分解解为为若若干干部部分分,代代入入相相应应的的解解析析式式,分别求出积分值，相加即可分别求出积分值，相加即可.题型三题型三 定积分的简单应用定积分的简单应用例例3 求由曲线求由曲线y2=x,y=x2所围成所围成的图形的面积的图形的面积. 如图所示如图所示.由由 y2=x y=x2，得出交点的横坐标为，得出交点的横坐标为x=0及及x=1.因此所围成图形的面积因此所围成图形的面积S= dx- x2dx=( - ) = - = .10 求平面图形的面积，关键是弄清求平面图形的面积，关键是弄清该图形的生成函数关系及其位置该图形
13、的生成函数关系及其位置.例例4 一一点点在在直直线线上上从从时时刻刻t=0(s)开开始以速度始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求：运动，求： (1)在在t=4 s时的位置；时的位置； (2)在在t=4 s时运动的路程时运动的路程. (1)在时刻在时刻t=4 s时该点的位置为时该点的位置为 (t2-4t+3)dt=( t3-2t2+3t) = (m),即在即在t=4 s时刻该点距出发点时刻该点距出发点 m.40(2)因为因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)，所所以以在在区区间间0,1及及3,4上上，v(t)0，在在区区间间1,3上，上，v(t)0,所以在所以在t=4 s时的
14、路程为时的路程为s= (t2-4t+3)dt+| (t2-4t+3)dt|+ (t2-4t+3)dt= (t2-4t+3)dt- (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt=4(m).即在即在t=4 s时运动的路程为时运动的路程为4 m. 因因为为位位置置决决定定于于位位移移，所所以以它它是是v(t)在在0,4上上的的定定积积分分，而而路路程程是是位位移移的的绝绝对对值值之之和和，因因此此需需判判断断在在0,4上上，哪哪些些时时间间段段的的位位移移为为负值负值. 若若直直线线l:y=t2-t(0t ,t为为常常数数)与与函函数数f(x)=x2-x的的图图象象以以及及y轴轴所所成成的的封封
15、闭闭图图形形的的面面积积为为S1(t)，若若直直线线l与与函函数数f(x)的的图图象象所所围围成成的的封封闭闭图图形形的的面面积积为为S2(t),已已知知g(t)=S1(t)+S2(t),当当g(t)取取最最小小值时，求值时，求t的值的值. 先先确确定定出出封封闭闭图图形形S1(t),S2(t)的的面面积积,建建立立面面积积的的函函数数关关系系式式，最最后后求求最值最值.由由y= x2-x y=t2-t,得交点坐标为得交点坐标为(t,t2-t)和和(1-t,t2-t),又因为又因为0t ，所以所以t2-t=(t- )2- (- ,0)，而函数而函数y=x2-x的顶点坐标为的顶点坐标为( ,-
16、)，由定积分的几何意义，得由定积分的几何意义，得g(t)=S1(t)+S2(t)= (x2-x)-(t2-t)dx+2 (t2-t)-(x2-x)dx=( x3- x2)-(t2-t)x +2(t2-t)x-( x3- x2)= t3- t2-t3+t2+2(t2-t) -( - )-(t2-t)t+ t3- t2=-2t3+ t2-t+ .t0t故故g(t)=-6t2+5t-1=-(3t-1)(2t-1).令令g(t)=0，解得，解得t= 或或t= (舍去舍去).当当t(0, )时，时，g(t)0，函数函数g(t)在区间在区间( , )上单调递增上单调递增.故当故当t= 时，函数时，函数g(
17、t)有最小值有最小值. 解解决决此此问问题题的的关关键键是是正正确确的的确确定定图图形形的的位位置置，再再利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义求得图形面积函数的解析式求得图形面积函数的解析式.1.定积分的概念定积分的概念.(1)定定积积分分的的定定义义是是由由实实际际问问题题抽抽象象概概括括出出来来的的，它它的的解解决决过过程程充充分分体体现现了了“由由直直到到曲曲”、由、由“有限到无限有限到无限”的极限的思想的极限的思想.(2)利利用用定定积积分分的的定定义义求求定定积积分分可可以以分分为为四步：分割、近似代替、求和、取极限四步：分割、近似代替、求和、取极限.注注意意：定定积积分分是是一
18、一个个数数值值(极极限限值值)，它它只只与与被被积积函函数数以以及及积积分分区区间间有有关关，而而与与积积分分变量无关变量无关,即即 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du. f(x)dx, |f(x)|dx,| f(x)dx|三三者者在在几几何何意义上的不同意义上的不同.当当f(x)0,即即函函数数f(x)的的图图象象全全部部在在x轴轴上上方方时时， f(x)dx= |f(x)|dx=| f(x)dx|，都都表表示示界界于于x轴轴、曲曲线线y=f(x)以以及及直直线线x=a,x=b之之间间的的曲曲边边形的面积；形的面积；当当f(x)0，即即函函数数f(x)的的图图象象全全部部在在x轴轴
19、下下方方时时， |f(x)|dx=| f(x)dx|表表示示界界于于x轴轴、曲曲线线y=f(x)以以及及直直线线x=a,x=b之之间间的的曲曲边边形形的的面面积积，而而 f(x)dx0,其结果是面积的相反数；其结果是面积的相反数；当当函函数数f(x)的的图图象象在在x轴轴上上方方和和下下方方都都有有时时, |f(x)|dx表表示示界界于于x轴轴、曲曲线线y=f(x)以以及及直直线线x=a,x=b之之间间各各部部分分面面积积,如如图图阴阴影影部分所示部分所示.2.微微积积分分基基本本定定理理使使我我们们找找到到了了求求定定积积分分的的一一般般方方法法，不不需需要要根根据据定定义义求求和和式式的的
20、极极限限，只只要要求求出出积积函函数数的的任任意意一一个个原原函函数数，并并且且一一般般使使用用不不含含常常数数的的原原函函数数，再再计计算算原原函函数数在在积积分分区区间间上上的的改改变变量量即即可可.分分段段函函数数的的定定积积分分及及绝绝对对值值函函数数的的定定积积分分问问题，都可以实施分段求解的方法题，都可以实施分段求解的方法.3.定定积积分分的的应应用用主主要要有有求求平平面面图图形形面面积、变速运动路程及变力做功三个方面积、变速运动路程及变力做功三个方面.(1)利利用用定定积积分分求求平平面面图图形形面面积积的的关关键键是画出几何图形，结合图形位置，是画出几何图形，结合图形位置，
21、确确定定积积分分区区间间以以及及被被积积函函数数，从从而而得得到到面面积积的的表表达达式式，再再利利用用微微积积分分基基本本定定理理求求出出积积分分值值.对对于于由由两两条条曲曲线线所所围围成成的的图图形形面面积积计计算算问问题题，一一定定要要注注意意结结合合图图形形特特征征，适适当当地地进进行行分段处理，要善于进行分解分段处理，要善于进行分解. (2)利用定积分解决变速运动问题和变力利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题，关键是求出物体作变速运动的速做功问题，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，
22、再利用微积好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求分基本定理计算即得所求.学例1 (2009广广东东卷卷)已已知知甲甲、乙乙两两车车由由同同一一起起点点同同时时出出发发，并并沿沿同同一一路路线线（假假定定为为直直线线）行行驶驶甲甲车车、乙乙车车的的速速度度曲曲线线分分别别为为v甲甲、v乙乙(如如图图所所示示)，那那么么对对于于图图中中给给定定的的t0和和t1，下列判断中一定正确的是下列判断中一定正确的是( )AA.在在t1时刻时刻,甲车在乙车前面甲车在乙车前面B.t1时刻后时刻后,甲车在乙车后面甲车在乙车后面C.在在t0时刻时刻,两车的位置相同两车的位置相同D.t0时刻后时
23、刻后,乙车在甲车前面乙车在甲车前面 在在t0时时刻刻之之前前，因因为为v甲甲v乙乙，所所以以甲甲车车一一直直在在乙乙车车前前面面.在在t0时时刻刻以以后后，因因为为v乙乙v甲甲,所所以以乙乙车车会会在在t0后后的的某某个个时时刻刻追追上上甲甲车车，然后超过甲车然后超过甲车.所以所以C，D两个判断都不正确两个判断都不正确. 由由定定积积分分的的物物理理意意义义可可知知，速速度度曲曲线线与与直直线线x0，xt1及及x轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积为为物物体体在在0t1时时段段内内的的位位移移.由由图图知知,在在0t1时时段段内内甲甲车车的的位位移移大大于于乙乙车车的的位位移移,所所以以在在t1时刻时刻,甲车在乙车前面甲车在乙车前面,故选故选A.学例2(2009福建卷福建卷) (1+cosx)dx等于等于( )DA. B. 2C. -2 D. +2 因因为为原原式式=(x+sinx) =( +sin )- - +sin(- )=+2，故故选选D.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
