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1、第第9 9章章 测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差的基本理论测量误差的基本理论测量精度的基本概念测量精度的基本概念数据处理的一般方法数据处理的一般方法本章内容：本章内容：2021/6/41学习目的学习目的1.1.正确认识误差的性质、分析产生原因、清除或减小误差正确认识误差的性质、分析产生原因、清除或减小误差2.2.正确处理测量和实验数据，合理计算取得结果，以便在正确处理测量和实验数据，合理计算取得结果，以便在一定条件下得到真实值的数据一定条件下得到真实值的数据3.3.正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，得到理想结果法，得
2、到理想结果4.4.提出更加完善的评价和确定真值的有效方法提出更加完善的评价和确定真值的有效方法5.5.找出有效的检测手段和误差补偿方法找出有效的检测手段和误差补偿方法6.6.为精确设计与实验数据处理打基础为精确设计与实验数据处理打基础2021/6/429.1.19.1.1测试误差及其表示方法测试误差及其表示方法真值真值：被测量的客观真实值：被测量的客观真实值理论真值：理论上存在、计算推导出来，如：三角形内角和理论真值：理论上存在、计算推导出来，如：三角形内角和180180约定真值：国际上公认的最高基准值约定真值：国际上公认的最高基准值最早定义为自最早定义为自地球地球北极北极到到赤道赤道之通过之
3、通过巴黎巴黎的的子午线子午线，期间距离的千，期间距离的千万分之一称为万分之一称为米米 19601960年国际度量衡大会改用年国际度量衡大会改用氪氪(86Kr)(86Kr)所发射橘黄色光波长的所发射橘黄色光波长的1650763.731650763.73倍定为标准倍定为标准米米基准米基准米 1m=1650763.73 1m=1650763.73 ( (氪氪-86-86的能级跃迁在真空中的辐射波长）的能级跃迁在真空中的辐射波长）最新一最新一米定义米定义于于1983年年国际度量衡大会重新制定，因为国际度量衡大会重新制定，因为氪氪(86Kr)不不易取得，最终定义为易取得，最终定义为光光在在真空真空中行进
4、中行进299,792,458分之分之1秒的距离为秒的距离为一标准米。一标准米。 ) )相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值值误差：测量结果与其真值的差异误差：测量结果与其真值的差异9.1 9.1 测量误差的基本理论测量误差的基本理论2021/6/43误差误差 绝对绝对误差误差相对相对误差误差过失过失误差误差系统系统误差误差随机随机误差误差表示形式表示形式性质特点性质特点12.1.1 12.1.1 测量误差的分类测量误差的分类2021/6/44 绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被测量的真绝对误差是示值与被测
5、量真值之间的差值。设被测量的真值为值为A0，器具的标称值或示值为，器具的标称值或示值为x，则绝对误差为，则绝对误差为12.1.2 12.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式1.1.绝对误差绝对误差 由于一般无法求得真值由于一般无法求得真值A0，在实际应用时常用精度高一，在实际应用时常用精度高一级的标准器具的示值，即实际值级的标准器具的示值，即实际值A代替真值代替真值A0 。 x与与A之差称之差称为测量器具的示值误差，记为为测量器具的示值误差，记为通常以此值来代表绝对误差。通常以此值来代表绝对误差。2021/6/45绝对误差测量值绝对误差测量值- -真值真值( (简称误差简称误差) )说
6、明：说明： a) a) 绝对误差可为绝对误差可为, , b) b) 如如用用尺尺子子和和卡卡尺尺测测量量试试件件尺尺寸寸分分别别200.5mm200.5mm和和200.36mm200.36mm 则：绝对误差则：绝对误差200.5200.5200.36=0.14mm200.36=0.14mm绝对误差绝对误差2021/6/462.2.相对误差相对误差12.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式 相对误差绝对误差真值相对误差绝对误差真值100% 100% 绝对误差测量值绝对误差测量值100%100%说明：说明： a) a) 相对误差可相对误差可+,+, b) b) 相对误差是无量纲数，常以百分
7、比表示相对误差是无量纲数，常以百分比表示 c) c) 绝对误差和相对误差之间区别绝对误差和相对误差之间区别? ? 2021/6/47相对误差相对误差12.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式说明：说明： d) d) 对对于于相相同同被被测测量量，绝绝对对误误差差可可以以评评定定其其测测量量值值精精度的高低；度的高低； b) b)对于不同被测量，相对误差评定较确切。对于不同被测量，相对误差评定较确切。 如：两种方法测量相同的长度如：两种方法测量相同的长度 L L1 1=80mm =80mm 的尺寸，误差的尺寸，误差 1 110mm, 10mm, 2 2 =8mm =8mm 第三种方法测量
8、第三种方法测量L L2 250mm50mm， 误差误差3 37mm7mm 2021/6/483.引用误差。引用误差是直读式指针仪表中通用的一种误差表示方法。，引用误差。引用误差是直读式指针仪表中通用的一种误差表示方法。，它是测试仪表的绝对误差与仪表的满量程之比，它是测试仪表的绝对误差与仪表的满量程之比， 用百分数表示，即用百分数表示，即结果：小于最大允许引用误差，表合格结果：小于最大允许引用误差，表合格 例例2 2：经检定发现，量程为：经检定发现，量程为250V250V的的2.5 2.5 级电压表在级电压表在123V123V处示值误差最大为处示值误差最大为5V5V，问该电压是否合格，问该电压是
9、否合格? ?解：按表精度等级规定，解：按表精度等级规定，2.52.5级表最大允许引用误差为级表最大允许引用误差为2.5%2.5%，而该表实际，而该表实际情况为：情况为：12.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式2021/6/49 为为了了减减小小测测量量误误差差，提提高高测测量量准准确确度度，就就必必须须了了解解误误差差来来源源。而而误误差差来来源源是是多多方方面面的的，在在测测量量过过程程中中，几几乎乎所所有有因因素素都都将引入测量误差。将引入测量误差。 主要来源主要来源 测量原理测量原理误差误差 测量装置测量装置误差误差 测量环境测量环境误差误差 测量人员测量人员误差误差 12.1
10、.3 12.1.3 测量误差的来源测量误差的来源2021/6/41012.1.3 测量误差的来源测量误差的来源电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声（1 1）原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差）原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异。如：非线性比较近似：理论分析与实际情况差异。如：非线性比较小时可以近似为线性小时可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立。如：误差因素假设：理论上成立、实际中不成立。如：误差因素互不相关互不相关 方法：测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、方法：测量方法存在错误或不足。如：
11、采样频率低、测量基准错误测量基准错误（2 2）装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差）装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程化、蠕变、空程2021/6/411（3 3）环境误差：测量环境、条件引起的测量误差）环境误差：测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动气流扰动(4) (4) 使用误差：读数误差、违规操作使用误差：读数误差、违规操作12.1.3 测量误差的来源测量误差的来源2021/6/
12、4129.1.4 9.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(1) (1) 随机误差随机误差 ( random error ) ( random error )正正态态分分布布性质：性质：次数统计对称性：对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等绝对值相等的正负误差出现的概率相等正态性：正态性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率高绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率高有限性：有限性：随机误差绝对值不会超过一定界限随机误差绝对值不会超过一定界限补偿性：正号的随机误差之和与负号的随机误差之和的绝对补偿性：正号的随机误差之和与负号的随机误差之和的绝对值相等，互相抵消。值相等，互相
13、抵消。分布密度分布密度2021/6/413随机事例的例子随机事例的例子 彩票摇奖彩票摇奖(1) (1) 随机误差随机误差 ( random error ) ( random error )12.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类2021/6/414性质：有规律，可再现，可以预测性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误原因：原理误差、方法误差、环境误 差、使用误差差、使用误差处理：理论分析、实验验证处理：理论分析、实验验证 修正修正(2) (2) 系统误差系统误差 ( system error ) ( system error )12.1.4 测量误差的性质与
14、分类测量误差的性质与分类2021/6/41512.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(1) (1) 特点：特点： 多次测量下，绝对值和符号不变，或按一定规律变化多次测量下，绝对值和符号不变，或按一定规律变化(2) (2) 原因：原因：a) a) 仪器结构不良：装置设计不合理，采用近似方法仪器结构不良：装置设计不合理，采用近似方法 b) b) 环境改变：温度影响环境改变：温度影响(3) (3) 鉴别方法：鉴别方法： a) a) 观测值总往一个方向偏差观测值总往一个方向偏差 b) b) 误差大小和符号在多次重复多次观测中几乎相同误差大小和符号在多次重复多次观测中几乎相同 c) c)
15、经过矫正和处理可以消除误差经过矫正和处理可以消除误差2021/6/416性质：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在性质：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在 一起一起原因：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强原因：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强 大的干扰所引起大的干扰所引起处理：判断、剔除处理：判断、剔除(3) (3) 过失误差过失误差 ( abnormal error ) ( abnormal error )14.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类2021/6/417精密度精密度( precision )( precision )：精密度是指在
16、相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测试时，测试值精密度是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测试时，测试值的重复程度。说明各测试值之间的重复性或分散程度，它是测试中随机误的重复程度。说明各测试值之间的重复性或分散程度，它是测试中随机误差大小的反映。差大小的反映。准确度准确度( accuracy) ( accuracy) ：准确度是指测试值与其真值的接近程度，是测试中系统误差大小的反映，准确度是指测试值与其真值的接近程度，是测试中系统误差大小的反映，系统误差越小，准确度越高。系统误差越小，准确度越高。精确度精确度 ( ( 正确度正确度) ) ：精确度是指测试结果与其真值的接近程度。它反
17、映了测试的总误差，是精精确度是指测试结果与其真值的接近程度。它反映了测试的总误差，是精密度和准确度的综合反映。密度和准确度的综合反映。工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级七级14.2 14.2 测量精度的基本概念测量精度的基本概念2021/6/418精度：测量结果与真值吻合程度精度：测量结果与真值吻合程度定性概念定性概念测测量量精精度度举举例例准准确确不不精精密密不不精精密密不不准准确确精精密密不不准准确确精精密密准准确确14.2 测量精度的基
18、本概念测量精度的基本概念2021/6/419算术平均值法算术平均值法异常数据剔除异常数据剔除最小二乘法最小二乘法函数误差函数误差14.3 14.3 数据处理一般方法数据处理一般方法2021/6/420表述：表述：式中式中x1, x2, xn 测量数据测量数据原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平 均值为测量结果均值为测量结果1 1 算术平均值法算术平均值法1、测量次数为无穷大时的标准偏差、测量次数为无穷大时的标准偏差求标准偏差求标准偏差的理论公式的理论公式2021/6/421有限测量次数标准偏差有限测量次数标准偏差14.3.1 算术平均值法算术
19、平均值法2、随机误差的极限误差、随机误差的极限误差3 3、求算术平均值的实验标准偏差、求算术平均值的实验标准偏差2021/6/4224 4、随机误差服从正态分布、随机误差服从正态分布随机误随机误差差测量测量值值 ：标准偏差，反映测量结果的分散性：标准偏差，反映测量结果的分散性 L ：真值：真值14.3.1 算术平均值法算术平均值法2021/6/4235 5、系统误差的消除、系统误差的消除定值系统误差：定值系统误差： 用用“修正表修正表”方法消除方法消除 用用“抵消法抵消法”方法消除方法消除变值系统误差：变值系统误差： 线性变化系统误差线性变化系统误差对称法消除对称法消除 周期性变化误差周期性变
20、化误差半周期法消除半周期法消除14.3.1 算术平均值法算术平均值法2021/6/424说明：说明：(1)(1)测量误差为随机变量，且符合正态分布测量误差为随机变量，且符合正态分布(2) (2) 真值必然处于一个有限的范围真值必然处于一个有限的范围原理：当测量结果超出正常范围时，给予剔除原理：当测量结果超出正常范围时，给予剔除准则：测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的准则：测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3 3倍倍(3) (3) 此法只适合于测量数据大于此法只适合于测量数据大于1010个的情况个的情况概率概率 95.4% 95.4%概率概率 99.73% 99.73%，即，即33以外的
21、概率以外的概率为为0.27%0.27%33准则准则( (赖特准则赖特准则) )9.3.2 异常数据剔除异常数据剔除2021/6/425数据处理过程数据处理过程 发现和消除系统误差发现和消除系统误差 求算术平均值求算术平均值 求求“残差残差”及标准偏差及标准偏差 判别和消除粗大误差判别和消除粗大误差 求算术平均值的标准偏差求算术平均值的标准偏差 写出测量结果写出测量结果14.3.2 异常数据剔除异常数据剔除2021/6/426计算举例计算举例14.3.2 异常数据剔除异常数据剔除2021/6/427算术平均值的标算术平均值的标准误差：准误差：分分组组重重复复多多次次测测量量，以以每每组组算算术术
22、平平均均值值作作为为处处理理数数据据算术平均值法算术平均值法14.3.2 异常数据剔除异常数据剔除2021/6/428 直线拟合直线拟合 一元线性回归方程一元线性回归方程 曲线拟合曲线拟合 一元非线性回归方程一元非线性回归方程 多项式回归多项式回归 多元线性回归多元线性回归 14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/429一元线性回归方程一元线性回归方程拟合直线形式：拟合直线形式：实际测量值实际测量值 与回归值与回归值 之差：之差： 与与 偏差平方和：偏差平方和：因因正规方程正规方程14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/430解正规方程得：解正规方程得：其中：其中：一元线性回归
23、方程一元线性回归方程14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/431 曲线问题曲线问题 直线问题（变量代换）直线问题（变量代换） 回归曲线回归曲线 回归多项式回归多项式n步骤：步骤：(1) 确定函数的类型确定函数的类型 （如双曲线、指数曲线、对数曲线等（如双曲线、指数曲线、对数曲线等）(2) 求解相关函数中的未知参数求解相关函数中的未知参数n举例举例: 指数曲线指数曲线一元线性回归方程一元线性回归方程14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/432例例1 为了测定刀具的磨损速度，每隔一小时，测量为了测定刀具的磨损速度，每隔一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组试验数据如下：一次刀具的
24、厚度，得到一组试验数据如下：顺序编号01234567时间 /小时01234567刀具厚度 /mm27.026.826.526.326.125.725.324.314.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/433解：首先确定的类型。如图，在坐标纸上画出这些点，观察可以认为 是线性函数，并设 其中 和 是待定常数。 )(tfy = =,)(battf+ += =ab14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/434因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相差都很小
25、。相差都很小。就是要使偏差就是要使偏差 都很小都很小因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 最小来保证每个偏差的绝对值都很小。最小来保证每个偏差的绝对值都很小。14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/435把把 看成自变量看成自变量 和和 的一个二元函数，那么问的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数题就可归结为求函数 在那些点处取在那些点处取得最小值。得最小值。即即令令14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/436将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和 分离出来，得计算得计算得14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/437代入方程组代入方程组(1)得
26、得解此方程组，得到解此方程组，得到这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为由由(2)式算出的函数值式算出的函数值 与实测与实测 的有一定的有一定的偏差。现列表比较如下：的偏差。现列表比较如下：14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/438酚含量酚含量x0.0050.0100.0200.0300.0400.050吸光度吸光度y0.0200.0460.1000.1200.1400.180例题例题2 分光光度法测定酚的数据如下：分光光度法测定酚的数据如下：14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/439 某位移传感器在校准时测得的数据如下表，若该某位移传感器在校准时测得的数据如
27、下表，若该传感器的线性表达式为传感器的线性表达式为 ，试用最小二乘法，试用最小二乘法 ，计算，计算 和和 。脉冲数脉冲数ni1020304050位移值位移值xi0.10.20.30.40.5一元线性回归方程一元线性回归方程14.3.3 最小二乘法最小二乘法2021/6/440 (1) 基本公式基本公式函数误差函数误差其中其中：各直接测量值的误差各直接测量值的误差各个误差的传递函数各个误差的传递函数14.3.4 函数误差计算函数误差计算2021/6/441 (2) 计算计算系统误差系统误差偶然误差偶然误差14.3.4 函数误差计算函数误差计算2021/6/442部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
