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1、1 1 探索勾股定理探索勾股定理第一章第一章 勾股定理勾股定理观察：图中两个正方形是怎样形成的，你知道它有什么意观察：图中两个正方形是怎样形成的，你知道它有什么意义吗？义吗？这是这是19551955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票. .观察：发现下面邮票中三个正方形的面积关系观察：发现下面邮票中三个正方形的面积关系? ?1.1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系定理的探究方法及其内在联系. .2.2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题掌握勾股定理，并能运用勾股定理
2、解决一些实际问题. .P PR RQ Q正方形正方形P P的面积的面积正方形正方形Q Q的面积的面积正方形正方形R R的面积的面积A AB BC C9 91616？怎么求怎么求S SR R的大小？的大小？有几种方案？有几种方案？如图，小方格的边长为如图，小方格的边长为1.1.【探究新知探究新知】ABC是什么特殊的三角形？P PQ QC C R R用用“补补”的方法的方法SRP PQ QC C R R用用“割割”的方法的方法Q QSRABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）（1 1）在图中，正方形）在图中，正方形A A中含中含有有 个小方格，即个小方格，即A A的
3、面积的面积是是 个单位面积个单位面积. . 正方形正方形B B的面积是的面积是_个个单位面积单位面积. . 正方形正方形C C的面积是的面积是_个单位面积个单位面积. .9 99 99 91818【试一试试一试】ABC （图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）把正方形把正方形C C分割成若干分割成若干个直角边为整数的三角个直角边为整数的三角形来求形来求=18个单位面积个单位面积ABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）=18=18个单位面积个单位面积把正方形把正方形C看成边长为看成边长为6的正方形面积的一半的正方形面积的一半ABC
4、ABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）图图1 1图2（2 2）在图）在图2 2中，正方形中，正方形A A，B B，C C中各含有多少个小方格中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？它们的面积各是多少？（3 3）你能发现图）你能发现图1 1中三个中三个正方形正方形A A，B B，C C的面积之间的面积之间有什么关系吗？图有什么关系吗？图2 2呢？呢？S SA A+S+SB B=S=SC C【结论结论】两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. .结合以上问题，结合以上问题，说一说你的结说一说你的结
5、论！论！A AB BC C图图1 1A AB BC C图图2 2右图中两个直角三角右图中两个直角三角形三边平方之间都有形三边平方之间都有什么关系？什么关系？【结论结论】两条直角边两条直角边的平方和等于斜边的的平方和等于斜边的平方平方. .【议一议议一议】 中国古代把直角三角形中较短的直角中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾边叫做勾, ,较长的直角边叫做股较长的直角边叫做股，斜边叫斜边叫做弦做弦. . 据据周髀算经周髀算经记载，西周战国时期记载，西周战国时期（约公元前（约公元前1 1千多年）有个叫商高的人对千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接周公说，把一根直尺折成直角
6、，两端连接得一个直角三角形，如果勾是得一个直角三角形，如果勾是3 3，股是，股是4 4，那么弦等于那么弦等于5.5.3 34 45 5勾勾股股弦弦【古人智慧古人智慧】人们还发现，人们还发现，在直角三角形中，在直角三角形中，勾是勾是6 6，股是股是8 8，勾是勾是5 5，股是股是1212，弦一定是弦一定是1313， 所有的直角三角形都有这个性质所有的直角三角形都有这个性质. .世界上许多数学家，世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论先后用不同方法证明了这个结论. . 我国把它称为勾股定理我国把它称为勾股定理. .6 62 2=36,=36,8 82 2=64,=64,6 62 2+8+8
7、2 2=10=102 210102 2=100=100等等等等. . 5 52 2=25,=25,12122 2=144,=144,5 52 2+12+122 2=13=132 213132 2=169=169弦一定是弦一定是1010；勾股定理勾股定理数学语言：如果用数学语言：如果用a a，b b和和c c分别表示直角三角形的两直角边和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，斜边，文字叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方文字叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. .a ab bc c勾勾股股弦弦【概括新知概括新知】那么那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2勾勾2+股股2=
8、弦弦2abcabcbacabc用两种方法表示大正方形的面积用两种方法表示大正方形的面积: :abcbcbcbcaaa对比两种表示方法对比两种表示方法, ,你得到勾股定理了吗你得到勾股定理了吗? ?我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的. .【例例】如图如图, ,一根旗杆在离地面一根旗杆在离地面9 m9 m处折断处折断, ,旗杆顶部落在离旗杆顶部落在离旗杆底部旗杆底部12 m12 m处处. .旗杆原来有多高旗杆原来有多高? ?12 m12 m9 m9 m【例题例题】【解析解析】设旗杆顶部到折断处的距离为设旗杆顶部到折断处的距离为x mx m，根据勾股定，
9、根据勾股定理得理得9 92 2+12+122 2=x=x2 2x=x=1515（负值舍去）（负值舍去）, ,15+9=24(m).15+9=24(m).答：答：旗杆原来高旗杆原来高24 m.24 m.A AB BC C如图如图, ,太阳能热水器的支架太阳能热水器的支架ABAB长为长为90 cm,90 cm,与与ABAB垂直的垂直的BCBC长为长为120 cm.120 cm.太阳能真空管太阳能真空管ACAC有多长有多长? ?【解析解析】在在RtABCRtABC中中, ,由勾股定理由勾股定理, ,得得 AC= = =150(cm).AC= = =150(cm).答答: :太阳能真空管太阳能真空管A
10、CAC长长150 cm. 150 cm. 【跟踪训练跟踪训练】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2.2.（义乌（义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是以是 ( (写出一组即可写出一组即可) )【解析解析】答案不唯一，只要满足式子答案不唯一，只要满足式子a a2 2+b+b2 2=c=c2 2即可即可. .答案：答案：3 3，4 4，5 5（满足题意的均可）（满足题意的均可） 答案：答案：5 5或或5.5.飞机
11、在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方上方3 km3 km处，过了处，过了20 s20 s，飞机距离这个男孩头顶，飞机距离这个男孩头顶5 km.5 km.这这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？一过程中飞机飞过的距离是多少千米？【解析解析】在在RtABCABC中，中，答答：飞机飞过的距离是飞机飞过的距离是4 4 km km. .B BC CA A3 3 5 5？6.6.求斜边长求斜边长17 cm17 cm、一条直角边长、一条直角边长15 cm15 cm的直角三角形的面的直角三角形的面积积. .【解析解析】设另一条直角边长是设另一条直角边长是x cm.x cm.由勾股定理得由勾股定理得: :15152 2+ x+ x2 2 =17=172 2，x x2 2=17=172 2-15-152 2=289=289225=64225=64，所以所以 x=x=8 8（负值舍去），（负值舍去），所以另一直角边长为所以另一直角边长为8 cm8 cm，直角三角形的面积是直角三角形的面积是: : (cm(cm2 2).). 没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
