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1、比一比：比一比：2021/8/61b米b米 a米 从前有一位张老汉向地主租了一块从前有一位张老汉向地主租了一块 “ “十字型十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相相同面积同面积的的长方形长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？出这块长方形土地的长和宽吗？ a 米2021/8/622021/8/63计算引入：计算引入：1)1). .（2+a)(a-2); 2+a)(a-2); 2).(-4s+t)(t+4s)2).(-4s+t)(t+4s)3)3).(m.(m+2n+2n)(2n)(2n-
2、m- m) ) 看谁做得最快最看谁做得最快最正确！正确！4). (2a +b-c)(2a-b+c ) 以上式子都可以用什么乘法公式简便计算以上式子都可以用什么乘法公式简便计算？计算结果的多项式有什么共同点？计算结果的多项式有什么共同点？2021/8/64平方差公式反平方差公式反过来就是说：过来就是说：两个数的平方两个数的平方差，等于这两差，等于这两个数的和与这个数的和与这两个数的差的两个数的差的积积a - b = (a+b)(a-b)因式分解因式分解整式乘法整式乘法平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b2021/8/65b a 将将边边长长为为a a的的正正方方形形一一角
3、角剪剪去去一一个个边边长长为为b b的小正方形，观察你剪剩下的部分。的小正方形，观察你剪剩下的部分。（2 2）你你能能根根据据先先后后两两个个图图形形的的关关系系说说明明一个一个等式等式吗？吗？（1 1）你你能能将将它它剪剪成成两两部部分分然然后后拼拼成成一一 个新的图形吗？个新的图形吗？思考：思考：2021/8/66a2-b2=(a + b)(a - b)例例：16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)下列多项式能否用下列多项式能否用平方差公式平方差公式分解因式分解因式？（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2 (3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2 (5) a2
4、-4 (6) a2+3能用平方差公式分解因式的能用平方差公式分解因式的多项式的特征多项式的特征：1 1、由、由两部分两部分组成；组成；2 2、两部分、两部分符号符号相反；相反；3 3、每部分都能写成某个式子的、每部分都能写成某个式子的平方平方。学一学：学一学：2021/8/67下列各式可以分别看成哪两式的平方差：下列各式可以分别看成哪两式的平方差：(1) 4(1) 4x x2 2( )( )2 2 ( )( )2 2(2) a(2) a2 2b b4 49c9c2 2( )( )2 2 ( )( )2 2(3) 1.21(3) 1.2181c81c2 2( )( )2 2 ( )( )2 2(
5、4) 4(a(4) 4(ab)b)2 2(a(ac)c)2 2 ( )( )2 2 ( ( ) )2 22 2x xabab2 23c3c1.11.19c9c2a2a2b2ba ac c2021/8/68 (1) x2-1 (2)m2-9 (3)x2-4y2 (4) 25x2-4 (5) 0.01s2-t2 (6) 121-4a2b2 （7） a6-81 （8）x2+25 (9) 16a2-9b2 (10) - 4a2b2+c2 =(x+1)(x-1)=(m+3)(m-3)=(x+2y)(x-2y)=(5x+2)(5x-2)=(0.1s+t)(0.1s-t)=(11+2ab)(11-2ab)=
6、(a3+9)(a3-9)=(5+x)(5-x)=(4a+3b)(4a-3b)=(c+2ab)(c-2ab)试一试：试一试：2021/8/69例例1.1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 (1)16a(1)16a - 1 - 1 (2) -m(2) -m n n +4x+4x 平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2 =(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)(3) - x(3) - x- - （- y4 - y4 ）(4) (4) 9x9x + 4m + 4m2 2(5)x(5)x2 2y y4 4-9-92021/8/610例例2.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1) (
7、x + z )- ( y + z )2) 4( a + b) - 25(a - c)3) 4a - 4a4) (x + y + z) - (x y z )1)5) 0.5a0.5a - 2- 2解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z) (x+y+z)- (x-y-z) =2
8、x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z )2021/8/611注注意意 当公式中的当公式中的a a、b b表示多项表示多项式时，要把这两个多项式看成式时，要把这两个多项式看成两个两个整体整体，分解成的两个因式，分解成的两个因式要进行要进行去括号化简去括号化简，若有同类，若有同类项，要进行项，要进行合并合并。2021/8/6121)1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A.A.4X+y B.4 x- (-y) C.-4 X-y D.- X+ y4X+y B.4 x- (-y) C.-4 X-y D.- X+ y2)2)-4a +1-4a
9、+1分解因式的结果应是（分解因式的结果应是（ ）A.A.-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C.C.-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)D DD D选一选：选一选：2021/8/6133.x3.x2 2-64-64因式分解为因式分解为( ).( ).(A)(A)(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4);
10、(D) (x-8)(x+8).(C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8).4. 64a4. 64a8 8-b-b2 2因式分解为因式分解为( ).( ).(A) (64a(A) (64a4 4-b)(a-b)(a4 4+b); (B) (16a+b); (B) (16a2 2-b)(4a-b)(4a2 2+b);+b);(C) (8a(C) (8a4 4-b)(8a-b)(8a4 4+b); (D) (8a+b); (D) (8a2 2-b)(8a-b)(8a4 4+b).+b).D DC C2021/8/614分解因式：分解因式：（4） 25x24（5）1214a2b2（
11、6） 4x2做一做做一做2021/8/615平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2 =(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)例例3.3.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 x x4 4 - 81y - 81y4 4 2a - 8a 2a - 8a 1.解解:原式原式= (x+ 9y) (x- 9y) = (x+ 9y) (x+ 3y) (x- 3y)2.解解:原式原式=2a(a2- 4) =2a(a+2)(a-2)2021/8/6161.1.先提取公因式先提取公因式2.2.再应用平方差公式分解再应用平方差公式分解3.3.每个因式要每个因式要化简化简，并且分解，并且分解彻底彻底对
12、于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？2021/8/6171 1、分解因式、分解因式: :(1)(1) 25 25x x2 2-4-4 =(5x+2)(5x-2)(2) (2) 4x4x3 3 -x -x =x(4x2-1)=x(2x+1)(2x-1)练一练：练一练：(3) (3) a a4 4 -81 -81= (a2+9)(a2-9)= (a2+9)(a+3) (a-3)(4) (4) 4 4x x3 3y - y - 9 9xyxy3 3 = xy(4x= xy(4x2 2-9y-9y2 2) )=xy(2x+3y)(2x-3y)=xy(2x+3y)(
13、2x-3y)(5) (5) 4( a + b )4( a + b ) - 25( a -c )- 25( a -c ) =(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)=(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)=2(a+b)=2(a+b) -5(a-c)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b) - 5(a-c)=2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b) - 5(a-c)(6) (6) 4a4a - 16b - 16b =4 (a=4 (a - 4b- 4b ) )= 4 (a+ 2b) (a- 2b)= 4 (a+ 2b) (a- 2b)2021/8/6182 2、把下列多项式
14、分解因式：、把下列多项式分解因式：（1 1） 4x4x3 3y y9xy9xy3 3 （2 2） 27a27a3 3bcbc3ab3ab3 3c c（3 3）（）（2n+12n+1）2 2（2n2n1 1）2 2（4 4） x x4 4-16-16练一练：练一练：2021/8/619做一做做一做 如图，在一块边长为如图，在一块边长为 acacm m 的正方形的四的正方形的四角，各剪去一个边长为角，各剪去一个边长为b bcmcm的正方形，求剩余的正方形，求剩余部分的面积。如果部分的面积。如果a=3.6a=3.6，b=0.8b=0.8呢呢? ?ab2021/8/620今年，我的年龄今年，我的年龄和
15、我表妹年龄和我表妹年龄的平方差是的平方差是87。那你和你表那你和你表妹今年分别妹今年分别几岁了？几岁了？等一下，我能够等一下，我能够算出来！算出来！聪聪明明的的同同学学，你你们们能能算出来吗？算出来吗？2021/8/621例例4 4、用平方差公式进行简便计算、用平方差公式进行简便计算: :（1 1）38-37 38-37 （2 2）213-87213-87（3 3）229-171 229-171 （4 4）91899189（6）把）把9991分解成两个整数的积。分解成两个整数的积。2021/8/622解决开头问题：解决开头问题：2021/8/623谈谈有何收获分解因式的分解因式的步骤步骤：(1
16、)优先优先考虑考虑提取公因式提取公因式法法(2)其次看是否能用其次看是否能用公式法公式法 （如（如平方差平方差公式）公式）(3)务必检查是否分解务必检查是否分解彻底彻底了了2021/8/624分解因式分解因式 （1 1）a a3 3-9a -9a （2 2）2x2x3 3y y3 3-8xy-8xy（4 4）x x2 2(x-y)+(y-x)(x-y)+(y-x)（5 5）a a5 5-16ab-16ab4 4 比一比比一比2021/8/6252 2、计算、计算：25 26525 2652 21351352 2 25 25拓展提高：拓展提高：1、分解因式：、分解因式：3 3、求、求(2+1)(
17、2(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)+1)(2(23232+1)+1+1)+1的个位数字；的个位数字；4 4、若、若2 24848-1-1能被能被6060与与7070之间的两个整数整除之间的两个整数整除, ,这两个整数这两个整数分别是分别是 与与 ；5 5、已知、已知,x+ y =7,x-y =5,x+ y =7,x-y =5,求代数式求代数式 x x 2 2- y- y2 2-2y+2x-2y+2x的值的值. .6 6、若、若n n是整数是整数, ,证明证明(2n+1)2-(2n-1)2(2n+1)2-(2n-1)2是是8 8的倍数的倍数. .2021/8/626拓展提高：
18、拓展提高：拓展提高：拓展提高： 1 1、英国数学家狄摩根在青年时代、英国数学家狄摩根在青年时代, ,曾有人曾有人问他问他:“:“今年多大年龄？今年多大年龄？”狄摩根想了想说：狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为假设狄摩根的年龄为x x岁，他弟弟的年龄为岁，他弟弟的年龄为 y y岁，你能算出他们的年龄吗？岁，你能算出他们的年龄吗？2021/8/6272、观察下表，你还能继续往下写吗？、观察下表，你还能继续往下写吗？你发现了什么规律？能用因式分解来说你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？明你发现的规律吗？2021/8/6282021/8/629
