《第一章随机事件与概率课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章随机事件与概率课件（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象与随机现象确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象随机现象：在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试验之前无法预知其确切的结果，也无法控制概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科第一节 随机事件及其运算一、随机试验与随机事件随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验：1试验可以在相同条件下重复进行；2试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果；3试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制)通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)例如：例如：抛一枚硬币，观察正、反
2、面出现的情况：掷一颗骰子，观察出现的点数：向一个靶子发射一颗子弹，观察打中的环数：检查一大批灯泡的寿命基本事件(样本点，或)：一次试验可能出现的每一个直接的结果也就是随机试验不能够再分解的结果如有两个基本事件：=出现正面，=出现反面有六个基本事件：=出现点，基本空间(样本空间，或或U)：全体基本事件的集合不可能事件：一定不发生的事件记为 如的基本空间为；的基本空间为或1，2，3，4，5，6随机事件：试验的每一个可能结果用大写字母等表示随机事件也就是基本空间的子集，即若干基本事件做成的集合如在中，“出现偶数点”的事件可表示为2，4，6，“出现奇数点”的事件可表示为=1，3，5，而1，2，3表示事
3、件“出现的点数不超过3”一定发生的事件，也就是基本空间必然事件：事件发生：当事件所包含的基本事件有一个出现，就说事件发生了，否则就说事件未发生试验的基本空间为，、(=1，2，)为中的事件1包含：如果事件发生必然导致事件发生则称事件包含事件，记作或二、事件的关系与运算就是在中的基本事件，一定都含在中对任一事件都有2相等：如果有，同时成立，则称事件与事件相等，记作就是事件与事件所包含的基本事件完全相同就是把事件与事件所公有的基本事件放在一起作成的事件4事件的积：“事件与事件同时发生”，这样的事件称为事件与事件的积或交，记为或在中，=2，=1，3，对于任一事件，有3事件的和：“事件与事件至少有一个发
4、生”,这样的一个事件称为事件与事件的和或并，记为就是把事件与事件所包含的基本事件放在一起作成的事件在中，=2，4，6，=1，2，3=1，2，3，4，6对于任一事件，有事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形：事件的和事件记作或，表示事件“中至少有一个事件发生”事件的积事件记作或，表示事件“同时发生”可数无穷多个事件的和与积分别记作与，表示“事件中至少有一个发生”；表示“事件同时发生”6互不相容(互斥):若事件与事件不能同时发生(即)，则称事件与事件互不相容或互斥与互不相容，就是与不含有公共基本事件“事件发生而事件不发生”，这样的事件称为事件与事件的差，记为就是的基本事件中去掉含在中的，余下的
5、基本事件作成的事件如在中，4，6对于任一事件，有，5事件的差：当事件与互不相容时，记作8运算规律：(1)，(2)，(3)，(4)，(5)7对立(互逆)：若事件与事件有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件为对立事件或互逆事件，其中事件叫做事件的逆事件，记作，事件叫做事件的逆事件，记作如在中，与互逆“第个零件是合格品”(=1，2，3)，试用，表示下列事件：例某工人加工三个零件，设表示事件(1)只有第一个零件是合格品；(2)只有一个零件是合格品；(3)至少有一个零件是合格品；(4)最多有一个零件是合格品解四个事件分别设为，则有(1)；(2)；(3)()；(4)或.在一个试验中，有许多随机事件一个事件
6、在一次试验中可能发生，也可能不发生有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小概率就是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标一、概率的统计定义设试验的基本空间为，为中的随机事件，为中两两互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：性质101性质2性质31频率定义1设为试验中的一个事件，把试验在相同条件下重复进行次，如果事件发生的次数为，则称为事件在次试验中发生的频率，记为即，第二节概率的古典定义上述性质依次称为频率的非负性、规范性、(有限)可加性经验证明，当试验进行的次数很大时，事件的频率具有一定的稳定性：即当试验次数充分大时，频率总在一个确定的数字附近摆动例1古代学者摩根(Morgan
7、)、蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Peason)，分别做了多次抛掷硬币的试验，观察正面出现的次数，记录结果如表1-1所示其中是抛掷硬币的次数，表示事件“出现正面”，是在次试验中正面出现的次数，表示次试验中正面出现的频率表1-1实验者试验次数正面出现次数频率摩根20481010蒲丰20480.5069皮尔逊120006019皮尔逊24000120120.500540400.50160.4932从表1-1可以看到，当试验次数很大以后，频率在0.5附近摆动，并逐渐稳定于0.5我们把频率围绕摆动的稳定值，就叫做事件的概率，即有概率的统计定义如下：2概率的统计定义定义2在相同的条件下重复进行次试验，如果
8、当增大时，事件的频率稳定地在某一常数附近摆动，则称常数为事件的概率，记为根据这一定义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事件概率的近似值二、古典概型1等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为等可能概型：(i)只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间，；(ii)每个基本事件发生的可能性是相等的2古典概率定义3设为等可能概型中的一个事件，的基本事件总数为，事件所包含的基本事件数为，称为事件的概率，记为，即概率的这个定义，称为概率的古典定义，此定义中的概率称为古典概率例2将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概率解设表示事件“出现正面”，表示事件“出现反面”，表示事件“
9、恰有一次出现正面”这是一个等可能概型，基本空间为3HTHTHTHTHTHTHT12基本事件总数为事件所包含的基本事件有3个：，于是有例3将一颗匀称的骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率；(2)求两次出现的点数相同的概率解用表示事件“第一次出现点，第二次出现点”则该试验的基本空间为，共有个基本事件设表示事件“两次出现的点数之和等于8”，表示事件“两次出现的点数相同”则包含有个基本事件=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，包含有=6个基本事件(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，所以，3排列组合简介有些古典概型中基本事件总数
10、与事件所包含的基本事件数，需用排列组合的公式来计算(1)加法原理与乘法原理加法原理：如果进行某过程有种方式，而第种方式有种方法，则完成该过程共有种方法乘法原理：进行某过程必须经过个步骤，而第个步骤有种方法，则完成该过程共有种方法(2)常用的排列公式1从个不同元素中任取()个元素(不允许重复)排成一列，称为选排列，共有种排列方法特别当时，个不同元素的全排列种数为(3)常用的组合公式1从个不同元素中任取()个元素(不考虑次序)作成一组，共有2从个不同元素中任取个允许重复地排成一列，共有种排法3设有种不同元素，同种元素是没有区别的，第种元素有个则全部个元素的全排列总数为，种组合方法2把个不同的元素分
11、成组，使得第组恰有个元素，则共有种分组方法3设个元素中有种类型，第种类型中有个元素，现从这n个元素中取出个，使得第种类型的元素恰有个元素，其中，则共有种不同的取法例4袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率解设 表示事件“取出的两球都是白球”，基本事件总数为 ， 所包含的基本事件数为 ，则由古典概率得例5设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不合格品从箱子中任取4个电子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？解设 表示事件“取基本事件总数为所包含的基本事件数为，出的4个元件中恰有1个不合格品” 基本事件总数为 所包含的基本事件数为 ，则由古典概
12、率得例6从1,2,10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概率是多少？解设 表示事件“取出的三个数字大小在中间的数字恰好为5” 基本事件总数为 ， 所包含的基本事件数为 ，因此所求概率为例7设某城市共有辆汽车，车牌号码从1到，有一个人将他所遇到的该城市的辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰好为(1)的概率解这种抄法可以看作是从 个不同的号码中允许重复地抽取 个号码的排列，共有 种可能的取法，这是基本事件的总数 因为最大车牌号码不大于 的取法共有 种，而最大车牌号码不大于 的取法共有 种，因此最大车牌号码正好是 的取法共有
13、 种设表示事件“抄到的最大车牌号码正好为”，则有例8将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级去，其中一班4名，二班5名，三班6名(1)求每一个班级各分到一名优秀生的概率；(2)求3名优秀生都分到二班的概率(2)设表示事件“3名优秀生都分到二班”，所包含的基本事件数，则有解基本事件总数为(1)设表示事件“每一个班级各分到一名优秀生”，所包含的基本事件为,则有例9一个班级有30人，要用抽签的办法分配5张电影票，问第1人抽到电影票和第30个人抽到电影票的概率各为多少？解设表示事件“第1人抽到电影票”，表示事件“第30个人抽到电影票” 完成事件 可以看作分成两个步骤，第一步：从5张电影票中
14、留1张给第1人，有 5种方法；第二步：其余29人任意抽一个签，有29！种方法，于是可知所包含的基本事件数为，完成事件也可以看作分成两个步骤，即留1张电影票给第30个人，而前29人从29个签中各任取1个，因此所包含的基本事件数为，此例说明，抽签的问题，先抽与后抽中签的可能性相等4古典概率的基本性质设为等可能概型，基本空间为，为中的事件性质101证所包含的基本事件数满足0，故有01性质2=1证必然事件所包含的基本事件数恰好是基本事件总数，所以性质3若互不相容，则有，或者写成证设Ai包含ki(kin,I=1,2,m)个基本事件,故,i=1,2,.,m,由于互不相容，故事件包含个不同的基本事件，所以三
15、、几何概型几何概型：如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域上任取一点，而所取的点落在区域中任意两个度量(长度、面积、体积)相等的子区域内的可能性是相等的，则称此试验为几何概型对于任何有度量的子区域，我们同时以表示事件“任取一点落在区域内”，定义事件的概率为，这样定义的概率称为几何概率Oyx+y=1xy=2/91/32/3x例10任取两个不大于1的正数，试求其积大于，且其和不大于1的概率解设两个数分别为、，01，01，为平面上一点，所有点的集合构成基本空间，即图中的正方形区域，其面积为，设表示事件“两数之积大于，之和不大于1”，即表示图中阴影部分，其面积为因此例11(蒲丰投针问题)在
16、平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为，向平面任意投掷一枚长为的圆柱形的针，试求此针与任一平行线相交的概率解以表示针的中点，以表示针投在平面上之后点到最近的一条平行线的距离，以表示针与此直线的交角(如图)，易知有0，0，Mx2a由这两式确定出平面上的一个矩形区域针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是（0），由这个不等式确定的区域记作，如图中的阴影部分，同时以表示事件“针与最近一条平行线相交”于是得所求的概率为xaOx=lsin如果与为已知，则以值代入上式就可以算得反之，也可以利用上式去求的近似值，如果投针次，其中针与平行线相交次，我们就以频率代替，代入上式可得历史上有一些学者曾做过这个试
17、验例如，Wolf在1850年投针5000次，得到的近似值为3.1596；Smith在1855年投针3204次，得到的近似值为3.1554；Lazzerini在1901年投针34080次，得到的近似值为3.1415929第三节 概率的公理化定义及概率的性质定义设是一个随机试验，是基本空间，对的每一事件，如果存在着一个实数(记作)，它满足以下三个条件：(i)0(非负性)；(ii)(规范性)；(iii)对于两两互不相容的事件，有则称为事件的概率，(可列可加性)性质1证由，再根据可列可加性，有，又因为0，所以必有性质2设为个互不相容的事件，则有，(有限可加性)证令，则为两两互不相容的事件，由可列加性及
18、性质1，有性质3对任一事件，有（或）证由于与互不相容，且，所以有，即或性质4若，则有且证，又，因此有，同时由0有证由于则有，且于是有，再由0，有即性质5对任一事件，有1证因，则有1性质6对任意两个事件与，有（加法公式）推论对任意三个事件,有(多除少补原理)例1设，求，解，例2设，求，解，由，有0=0，于是，再由加法公式第四节 条件概率一、条件概率与乘法公式定义设为一试验，,为中两事件，且，则称为事件发生的条件下事件发生的条件概率，记作，即可以验证上述定义满足概率公理化定义的三个条件例1袋中有5只球，2只红球，3只白球，现依次取两球且不放回，(1)求第二次取红球的概率，(2)若已知第一次取到红球
19、的条件下，求第二次取到红球的概率数为，解设表示事件“第一次取到红球”，表示事件“第二次取到红球”，基本事件总(或)，表示事件“两次都取到红球”，则，注意区分与定理若，则；若，则例2一批零件共100件，次品率10%，接连两次从这批产品中任取一个，不放回，求第二次才取得正品的概率解设表示事件“第一次取次品”，表示事件“第二次取正品”，则表示事件“直到第二次才取得正品”其概率为另解基本事件总数，事件所包含的基本事件数，所以由古典概率有推论设为三事件，且，则例3已知在20个同种零件中有3个次品，从这20个中任取3次，不放回，求：(1)三个都是合格品的概率；(2)至少有一个合格品的概率；(3)一个是合格
20、品二个是次品的概率，()，于是解设表示事件“第次取到合格品”，表示事件“三个都是合格品”，表示事件“至少一个合格”，表示事件“一个合格品二个不合格品”则二、全概率公式定义设试验的基本空间为，事件满足：(i)两两互不相容，(ii)，(iii)，则称为的一个划分(分割)定理设为试验的基本空间，为的一个随机事件，为的一个划分，且有，则证明，且，则推论设为的基本空间，为的事件，互不相容，例4袋中有5只球，2只红球，3只白球，依次取两球，求第二次取红球的概率解设表示第一次取红球的事件，表示事件“第一次取白球”，表示事件“第二次取红球”由全概率公式有例5某车间有四个班组生产同一种产品，其产量分别占总产量的
21、15%、20%、30%、35%，次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02，现从全部产品中任取一件，间恰好取到次品的概率是多少？解设表示事件“取到第组的产品”，=1,2,3,4，表示事件“恰好取到次品”由全概率公式，有例6在两个袋中分别放有及个白球和及个黑球，今任选一袋，从中任取一球，求取出白球的概率解设表示事件“取到第袋”，表示事件“取到白球”，由全概率公式，有例7将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个球第一个盒中7个红球3个黄球，第二个盒中5个黑球5个白球，第三个盒中8个黑球2个白球先在第一盒中任取一球，若取到红球则在第二个盒中任取一球；若在第一盒中取到黄球则在第三个盒中任取一
22、球，求第二次取到黑球和第二次取到白球的概率各为多少？解设表示事件“从第一个盒中取到红球”，则表示事件“从第一个盒中取到黄球”设表示事件“第二次取到黑球”，则表示事件“第二次取到白球”(或)练习有10箱同样的产品，每箱数量相同，其中一厂的产品有5箱，二厂的产品有3箱，三厂的产品有2箱，各厂次品率依次为10%、15%、5%现从全部产品中任取一件，求取到次品的概率（答案0.105）三、贝叶斯公式设为试验的基本空间，为任一事件，为的一个划分，()，则（）证明由全概率公式，再由条件概率公式及乘法公式，得解，例8在上述练习中，若已知取到次品，问此次品由哪个厂生产的可能性最大？，由此可知，取出的次品由第一厂
23、生产的可能性最大例9在电报通讯中，发送端发出的信号是由“”和“-”两种信号组合的序列由于受到随机干扰，接收端收到的是“”、“-”和“不清”三种信号假设发送“”、“-”的概率分别为0.6和0.4；在发“”时，收到“”、“-”和“不清”的概率分别为0.7、0.1和0.2；在发“-”时，收到“”、“-”和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1求：(1)在任意发出一个信号后，收到“”、“-”和“不清”的概率；(2)在已知收到“不清”的条件下，问原发送信号是“”或“-”的概率各为多少？解设和分别表示事件“发送和-”，表示收到“”，表示“收到”“-”，表示收到“不清”(1)，(2)，第五节第五节 事件
24、的独立性事件的独立性一、引例例1袋中装有5只白球、4只黑球，依次任取两只球A表示事件“第一次取到黑球”，B表示事件“第二次取到白球”如果作不放回抽样，则有，这里，从而有如果作有放回抽样，则有，这里有在有放回抽样的情况下，有，此时，说明事件发生与否，不影响事件的概率于是我们就说事件与事件是相互独立的则称事件与事件相互独立二、事件相互独立的定义与性质定义 设、是试验的两个随机事件，如果，性质1若，则事件与事件相互独立的充分必要条件是性质2若，则事件与事件相互独立的充分必要条件是性质3与独立与独立与独立与独立证设与相互独立，即有，于是，即知与相互独立当与相互独立时，有，于是，即知与相互独立类似地可以
25、证明性质3中其它几个结论注1当时，“与相互独立”与“与互不相容”不能同时成立2事件是否相互独立往往由问题的实际意义来判断例2 设 与相 互独立， ，求 解例3两人分别独立地向同一目标各射击一次，甲命中率为0.9，乙命中率为0.8，求目标被击中的概率解设表示事件“甲击中目标”；表示事件“乙击中目标”；表示事件“目标被击中”则由题意可知事件与事件相互独立，于是另解定义设、为三个事件，如果且，则称事件、相互独立注1三个事件相互独立，可以保证两两相互独立，但反之不然2设为个事件，如果对于任意正整数及这个事件中的任意个事件，都有，则称个事件相互独立例4某一系统中的一个元件正常工作的概率叫做该元件的可靠性
26、，由若干个元件组成的系统正常工作的概率叫做该系统的可靠性设有3个元件，每个元件的可靠性均为，且各元件是否正常工作是相互独立的，试求由这3个元件串联而成的系统以及由这三个元件并联而成的系统的可靠性解设表示事件“第个元件正常工作”，表示事件“串联系统正常工作”，表示事件“并联系统正常工作”则有，或第六节第六节 伯努利概型伯努利概型如果一个试验只有两个结果与，把这个试验重复独立地进行次，所构成的联合试验称为重伯努利概型，记为若，则在重伯努利概型中，事件发生次的概率为事实上，事件在指定的次发生，其余次不发生的概率为，而在次重复独立试验中，恰有次发生的个数为个，所以这个公式称为二项概率公式在重伯努利概型
27、中，事件至少发生一次的概率为例1某人向一目标独立射击100次，每次命中率为0.1，求恰好击中两次和至少击中一次的概率，解这是一个100重伯努利概型，设表示事件“恰好击中两次”，表示事件“至少击中一次”，则从上例中可以看出，每次射击命中率很小，只有0.1，但重复进行下去，几乎肯定能够击中目标例2某车间有10台机床相互独立地运行，设每台机床出故障的概率为0.2，求在同一时刻有3台到5台机床出故障的概率解这是10重伯努利概型，设表示事件“恰有台机床出现故障”，则所求概率为例3在100件产品中有10件次品，现随机抽取5次，每次取1件，取后放回求取出2件次品和至少取到1件次品的概率解每次抽取有两种可能结果，即取次品（记为）或取正品（记为），因为每次取后放回去，5次抽取是独立进行的，所以可看成是5重伯努利概型，据二项概率公式，取出2件次品的概率为至少取到1件次品的概率为例4已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为0.96，问需要发射几枚导弹，才能保证击中敌机的概率大于0.999？解得所以应取，即需要发射3枚导弹解设需要发射枚导弹，由题意，而，于是，即有，
