《数理方程与特殊函数钟尔杰弦振动和几类波动方程的定解条件学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数钟尔杰弦振动和几类波动方程的定解条件学习教案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、会计学1数理方程与特殊函数钟尔杰弦振动数理方程与特殊函数钟尔杰弦振动(zhndng)和几类波动方程的定解条件和几类波动方程的定解条件第一页，共17页。物理、力学、电磁学、自动化工程物理、力学、电磁学、自动化工程 (gngchng)(gngchng)、生物工程、生物工程(gngchng)(gngchng)等领域中等领域中, ,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。物理学中的定律，往往物理学中的定律，往往 (wngwng)(wngwng)只给出这些函数和它们的各只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。阶导数与自变量的关系。牛顿牛顿(ni dn)(ni
2、 dn)第二定律第二定律: F = m a: F = m a a a物体加速度物体加速度;F;F合外力合外力;m;m物体质量物体质量虎克定律虎克定律: : (1) f = k x; f (1) f = k x; f 弹力弹力;k;k弹性系数弹性系数; x; x弹簧伸长弹簧伸长(2) p = Y ux; Y(2) p = Y ux; Y杨氏模量杨氏模量; ux; ux弹性体相对伸长弹性体相对伸长单摆的数学模型单摆的数学模型:第1页/共16页第二页，共17页。牛顿冷却牛顿冷却(lngqu)定律定律:q=k(u|Su0)q热流密度热流密度;u0外界温度外界温度;u|S物体温度物体温度散度定理散度定理
3、(dngl):A=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)kdivA=px+qy+rz扩散实验定律扩散实验定律:流过面积流过面积(minj)微元微元dS的粒子质量的粒子质量dM=kun(x,t)dSdtk扩散系数扩散系数;un沿热流方向的方向导数沿热流方向的方向导数付里叶热传导定律付里叶热传导定律: Q热量热量;T温度温度;热导率热导率第2页/共16页第三页，共17页。一阶导数一阶导数(dosh):导数导数(dosh)的的意义意义:二阶导数二阶导数(dosh):速度、加速度、变化率、曲率、切线速度、加速度、变化率、曲率、切线或或或或或或二元函数二元函数:u = u(x, t )
4、或或第3页/共16页第四页，共17页。弦的横向振动弦的横向振动(zhndng)(zhndng)问题问题 一根均匀柔软的细弦线一根均匀柔软的细弦线 , ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点 , ,另一端另一端沿沿 x x 轴拉紧固定在轴拉紧固定在 x x 轴上的轴上的 L L 处，受到扰动处，受到扰动(rodng)(rodng)，开，开始沿始沿 x x 轴轴( (平衡位置平衡位置) )作微小横振动作微小横振动( (细弦线上各细弦线上各点运动方向垂直于点运动方向垂直于 x x 轴轴).).试建立细弦线上任意点位移试建立细弦线上任意点位移函数函数 u(x,t) u(x,t) 所满足的规律所满足的规
5、律 . .第4页/共16页第五页，共17页。 uxT1T2Ox x+dxgdsds设细弦上各点线密度为设细弦上各点线密度为,细弦上质点细弦上质点(zhdin)之间相互作用力为张力之间相互作用力为张力T(x，t)水平水平(shupng)合力为零合力为零T2cos2T1cos1=0cos1cos21T2T1T铅直铅直(qinzh)合力合力:F=maT(sin2sin1)=dsuttsin1tan1T(tan2tan1)=dsutt第5页/共16页第六页，共17页。dsdx 其中其中一维波动一维波动(bdng)方程方程:utt=a2uxx考虑考虑(kol)有恒外力密度有恒外力密度f(x，t)作用时，
6、可以得到一维波动方程的非齐次形式作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式utt=a2uxx+f(x,t)Tux(x+dx，t)ux(x，t)= ds utt utt= a2 uxx第6页/共16页第七页，共17页。细杆的纵向振动细杆的纵向振动(zhndng)问题问题细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移u(x，t)改变，质点位移相对伸长为改变，质点位移相对伸长为ux，截面，截面(jimin)应力应力P=YuxY是杨氏模量。截面是杨氏模量。截面(jimin)的张力的张力T=SP。u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO均匀细杆长为均匀细杆长为L，线密度
7、为，线密度为，杨氏模量为，杨氏模量为Y，杆的，杆的一端一端(ydun)固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿沿x轴方向的振动轴方向的振动)杆上质点位移函数杆上质点位移函数u(x，t)T(x,t)=SY ux(x,t),T(x+dx,t)=SY ux(x+dx,t)SY ux(x+dx,t) ux(x,t)第7页/共16页第八页，共17页。用牛顿用牛顿(nidn)第二定律第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)=Sdxutt令令a2=Y/ 。化简化简，得得utt = a2 uxx或或由由第8页/共16页第九页，共17页。弦振动问题弦振动问题(w
8、nt)(wnt)定解定解条件条件细弦一端固定在坐标细弦一端固定在坐标 (zubio)(zubio)原点原点, ,另一端固定在另一端固定在 x x 轴上的轴上的 L L 处处. .受到垂直于受到垂直于 x x 轴方向的扰动轴方向的扰动, ,作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度 u(x,t)|x=0=0,u(x,t)|x=L=0或或:u(0,t)=0,u(L,t)=0初始条件初始条件:u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)或或:u(x,0)= (x),ut(x,0)=g(x)边界条件表示端点状态边界条件表示端点状态 (
9、zhungti),(zhungti),初始条件表示历史状态初始条件表示历史状态 (zhungti)(zhungti)第9页/共16页第十页，共17页。OLL/2hxu波动方程波动方程(fngchng)(fngchng)定定解条件解条件I I第10页/共16页第十一页，共17页。波动方程波动方程(fngchng)(fngchng)定解定解条件条件II II 细弦的线密度为细弦的线密度为 , ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点 , ,另一端固定在另一端固定在 x x 轴上的轴上的 L L 处处. .弦的中点受到垂直于弦的中点受到垂直于 x x 轴方向的冲量轴方向的冲量 I I 的作用的作用,
10、,作微小作微小(wixio)(wixio)横振动。函数横振动。函数 u(x,t) u(x,t) 表示位移表示位移第11页/共16页第十二页，共17页。波动方程波动方程(fngchng)(fngchng)定解条件定解条件III III Lu(L,t)O细杆在细杆在x=0点固定点固定,在在x=L处受外力处受外力(wil)F(t)作用作用F(t)SY ux( L ,t )=0第12页/共16页第十三页，共17页。波动波动(bdng)(bdng)方程定解方程定解条件条件IV IV 弦的一端固定弦的一端固定(gdng)(gdng)在原点在原点, ,另一端与另一端与 x x 轴上轴上 L L 处的弹簧相接
11、处的弹簧相接. .受到扰动受到扰动, ,作上下微小横振动。作上下微小横振动。在右端点在右端点(dun din)(dun din)处处( (张力张力= =弹性力弹性力) : Tux= -Ku) : Tux= -Ku令令 =T/K,得得u + uxx=L=0第13页/共16页第十四页，共17页。习题习题(xt)2.1（P.22）1、2、3、4偏微分方程偏微分方程(wifnfnchn)定解条件小结定解条件小结:第一种情况第一种情况: 初始条件初始条件( 求解区域求解区域(qy)为无界区域为无界区域(qy) )第二种情况第二种情况: 初边值条件初边值条件(求解区域求解区域(qy)为有界区域为有界区域(
12、qy)第一类边界条件第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值给定函数在边界上的函数值第二类边界条件第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值给定函数在边界上的导数值第三类边界条件第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和导数值的线给定函数在边界上的函数值和导数值的线性组合性组合第14页/共16页第十五页，共17页。思考题思考题1.弦振动弦振动(zhndng)和简谐振动和简谐振动(zhndng)的数的数学模型有何区别？学模型有何区别？2.弦的横振动弦的横振动(zhndng)和杆的纵振动和杆的纵振动(zhndng)的数学模型中位移函数的数学模型中位移函数u(x, t )有何有何不同？不同？3.举一个实例简述第二类边界条件的物理背景举一个实例简述第二类边界条件的物理背景第15页/共16页第十六页，共17页。内容(nirng)总结会计学。物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。un沿热流(rli)方向的方向导数。速度、加速度、变化率、曲率、切线。一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端。点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移。考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式。边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态。弦振动和简谐振动的数学模型有何区别第十七页，共17页。
