对数函数讲义

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1、 一、教学目标： 1理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式baN与对数式logaNb的互化， 对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b叫做以a为底 N 的对数， 记作 ， 其中a叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：logbaaNbN 2.常用对

2、数：通常将以 10 为底的对数10logN叫做常用对数，记作lg N。 自然对数：通常将以无理数2.71828e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （ 1） 对 数 恒 等 式 ： logNaa= (01,0)aaN且logNaa= (01,0)aaN且 （2 ）换底公式：logaN loglogbbNa （3 ）对数的性质：负数和零没有对数 1 的对数是零，即log 10a 底的对数等于 1 ，即log1aa logloglogabcbcd logad 4.对数的运算性质 如果01,0,0aaMN且，那么 （1）log ()aMN ； （2）log

3、aMN ； （3）lognaM ； （4）lognamM 。 （5）loglogabba ； （6）logab 1logba 5.对数函数 函数log(01)ayx aa且做对数函数，其定义域为(0，+ ) ，值域为(-，+ ).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1loglog(01)aayxyx aa与且的图像关于x轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01cdab 8.对数式、对数函数的理解 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 在理解对数函数的概念时， 应抓住定义的 “形式

4、” ， 像2log 2,log 2 ,3lnxyyx yx等函数均不符合形式log(01)ayx aa且，因此，它们都不是对数函数 画对数函数logayx的图像，应抓住三个关键点1( ,1),(1.0),(, 1)aa 【例题精讲】 考点一：对数式的运算 例 1.计算 （1 ）222 lg2lg2 lg5lg2lg21 （2 ）231lg5 lg8lg1000lg2lglg0.066 【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。 【举一反三】 1.求值： （1 ）22271logl

5、og 12log 42 1482 （2 ）2lg2lg2 lg50lg25 （3 ） 3948log 2log 2log 3log 3 练习： 1=29=3(log 3log 3)=1248化简计算计算lglglglglog23939123 4log( 6+4 264 2) =5log2 =1aalog 3=32已知，则 6 若 log(log3(lnx)=0，则 x=_ 7 化简 lg25 lg2lg50=_ 8log500lg85lg6450(lg2lg5)2计算12 考点二：对数值的大小比较 比较大小常用的方法有：做差比较法 做商比较法 函数单调性法 中间值法， 在比较两个幂的大小时，除

6、上述一般方法外，还应注意以下情况： 1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小， （特别是 0 和 1 ）进行分组，再比 较各组的大小。 5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。 例 2 . 比较大小 （1 ）22log 3.4log 8.5与 （2 ）23log 3log 3与 （3 ）76log 6log 7与 （4 ）

7、21log1log2aabbbR与 【举一反三】 (1)3 . 0log7 . 0log4 . 03 . 0与 (2) 214 . 36 . 0317 . 0log, 8 . 0log和 (3)1 . 0log1 . 0log2 . 03 . 0和 解： （1 ） 13 . 0log7 . 0log3 . 03 . 0 14 . 0log3 . 0log4 . 04 . 0 3 . 0log7 . 0log4 . 03 . 0 (2) 18 . 0log06 . 0 07 . 0log4 . 3 13121 216 . 04 . 3318 . 0log7 . 0log (3) 解： 03 .

8、0log11 . 0log1 . 03 . 0 02 . 0log11 . 0log1 . 02 . 0 2 . 0log3 . 0log1 . 01 . 0 1 . 0log1 . 0log2 . 03 . 0 考点三：与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样， 但应 注意真数大于 0 且不等于 1 ，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。 例 3. 求下列函数的定义域 21logayx； （2 ）2log (4)ayx； （3 ）log4axyx. 解 （1 ） 因为20x ， 即0x ， 所以函数2logayx的定义域是 ,00

9、,. （2 ） 因为240x， 即240x ， 所以函数2log (4)ayx的定义域是2,2. （3 ）因为04xx，即40x x，所以函数log4axyx的定义域是0,4. 考点四：与对数函数有关的值域问题 （1 ） 型如(log)ayfx：采用换元法，令logatx，根据定义域先求logatx值域，再求( )yf t的值域。 （2 ） 型如log( )ayf x：由真数( )0f x 求出定义域，再求出( )yf x的值域，再根据a的值确定复合函数的值域. 例 4 . 求下列函数的定义域、值域： (1)41212xy (2) )52(log22xxy (3) )54(log231xxy

10、(4) )(log2xxya 解(1)：要使函数有意义，必须：041212x 即：11212xx 值域：11x 012x 从而 1122x 2124112x 41412012x 210 y (2)522xx对一切实数都恒有4522xx 函数定义域为 R 从而24log)52(log222xx 即函数值域为2y (3)函数有意义，必须：5105405422xxxxx 由51x 在此区间内 9)54(max2xx 95402xx 从而 29log)54(log31231xx 即：值域为2y (4)要使函数有意义，必须： 02xx 0)(log2xxa 由：01x 由：当1a时 必须 12xx x

11、当10 a时 必须 12xx Rx 综合得 1001ax且 当01x时 41)(max2xx 4102xx 41log)(log2aaxx 41logay )10( a 考点五：定义域或值域为 R 的问题 （1 ） 若log( )ayx的定义域为 R,则对任意实数x，恒有( )0x。 特别地，当2( )(0)xaxbxc a时，要使定义域为 R ，则必须00a 且 （2 ） 若log( )ayx的值域为 R ，则( )x必需取遍0 ，内所有的数。 特别地，当2( )(0)xaxbxc a时，要使值域为 R ，则必须00a 且 例 5. 对于函数) 32(log)(221axxxf，解答下述问题

12、： （1 ）若函数的定义域为 R ，求实数a的取值范围； （2 ）若函数的值域为 R ，求实数a的取值范围； （3 ）若函数在), 1内有意义，求实数a的取值范围； （4 ）若函数的定义域为), 3() 1 ,(，求实数a的值； （5 ）若函数的值域为 1,(，求实数a的值； （6 ）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a的取值范围. 考点六：对数函数的综合问题 例 1 、设121( )log1axf xx为奇函数, a为常数. 求a的值； 求证：( )f x在(1)，内单调递增； 若对于3,4上的每一个x的值，不等式1( )( )2xf xm恒成立，求实数m的取值范围。 解：因为( )f x

13、是奇函数，所以()( )fxf x ，112211loglog11axaxxx ，1111axxxax ，22211a xx ，1a，经检验1a 121( )log1xf xx 定 义 法 ： 任 取121xx， 所 以12110xx，1222011xx ，12121111xxxx，1211122211loglog11xxxx，所以12( )()f xf x，所以( )f x在(1)，内单调递增. 导数法：1211( )() log()11xxfxexx112222121loglog111xeexxx，因为1x ，所以2101x ，又12log0e ，所以( )0fx，所以所以( )f x在(

14、1)，内单调递增. 对于3,4上的每一个x的值， 不等式1( )( )2xf xm恒成立， 所以1( )( )2xf xm恒成立，令1( )( )( )2xg xf x，由知，( )g x在3,4上是单调递增函数，所以9(3)8mg，所以m的取值范围是9()8 ，. 例 2 、已知( )log(01,0)axbf xaabxb且 求函数( )f x的定义域； 讨论函数( )f x的奇偶性； 讨论函数( )f x的单调性. 析：由真数大于 0 ，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。 解 ： 令0xbxb得xbxb 或， 所 以 函 数( )f x的 定

15、义 域 为()()bb，-，. 函数( )f x的定义域关于原点对称，1()loglog( )aaxbxbfxf xxbxb =-，故( )f x是奇函数. 令2( )1xbbu xxbxb，则( )u x在()b ，和()b，上是减函数，所以 当01a时，函数( )f x在()b ，和()b，上是增函数。 当1a 时，函数( )f x在()b ，和()b，上是减函数。 例 3 、已知函数212log ()yxaxa在区间(2)，上是增函数，求实数a的取值范围. 析：本题只需2uxaxa 在(2)，上递减且恒为正即可。 解： 令2( )g xxaxa ， 则( )g x在(2)，上是减函数，

16、又因为1012， 函数y在(2 ，上递增，所以( )g x只要在(2)，上递减，且( )0g x ，即有 2222220agaa，所以2 22( 2 1)a，故a的取值范围是2 2 2( 2 1)， 例 4 、对于函数( )f x定义域中任意的1212,()x x xx，有如下结论： 1212()( )()f xxf xf x；1212()( )()f xxf xf x； 1212( )()0f xf xxx；1212()()()22xxf xf xf 当( )lgf xx时，上述结论中正确结论的序号是 例 5 、设a为常数，试讨论方程lg(1)lg(3)lg()xxax的解的个数 解：原方程

17、等价于10300(1)(3)xxaxxxax 即25313xxax 构造函数253(13)yxxx 和ya作出它们的图象，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况： 当13a或134a 时， 原方程有一个解； 当1334a时，原方程有两个解；当1a 或134a 时，原方程无解. 例 6 、 已知函数( )()yf x xR 满足(1)(1)f xf x， 且当 1,1x 时，2( )f xx，则方程( )yf x与5logyx 的实根个数为 4 . 解析：由(1)(1)f xf x知函数( )yf x的周期为 2，作出其图像如图所示，当5x 时，( )1f x ，5log1x ；当5x 时，(

18、)0,1f x ，5log1x ,( )yf x与5logyx的图像不再有交点. 例 7 、函数f（x）=log2|x| ，g（x）= x2+2，则f（x） g（x）的图象只可能是 A B C D 解析：f（x）与g（x）都是偶函数，f（x） g（x）也是偶函数，由此可排除 A 、D. 又由x+ 时，f（x） g（x），可排除 B. 答案：C 练习： ( 一) 选择题 1y = logxa(a21)函数是减函数，实数 的取值范围是( ) A0a1 Ba1CaaDa11a 或 或 2222 2log1aa设 ，则实数 的取值范围是23( ) 3a = log0.6 blog0.5 c = log

19、0.523已知，则5( ) A a b c B b a c Ca c b D c a b 4|log|= log|log a|=log aabaabb若，则，则 、 满足关系1414( ) A a 1 ，b 1 B 0 a 1 ，b 1 C a 1 且 0 b 1 D 0 a 1 ，0 b 1 5 若 m n 1 ，且 0 a 1 ，则下面四个结论中不正确的是( ) A m-an-a B ama-n Cmn Dlog mlog naaa2a2 7 设 f(x)=|lgx|，则其递减区间是( ) A (0，1) B (1，) C(0，) D 不存在 8f(x)24f(log 8)f()12已知偶

20、函数在， 上单调递减，那么与 的大小关系是 Af(log 8)f()Bf(log 8) = f()Cf(log 8)f() D121212 不能确定 9y = log(x3x2)122函数的递增区间是( ) A ( ，1) B (2，) C() D(32) ，32 10 如图 2 8 11 所示， 已知 0 a 1 ， 则在同一坐标系中， 函数 y=a-x， 和 y loga( x)的图像只可能是( ) ( 二) 填空题 1. 函数( )logxaf xax在区间 12，上的最大值与最小值之和为14， 最大值与最小值之积为38，则a等于 。 2y =1lg(x1)函数的定义域是 3 函数 y log2(2x2) 的值域是_ 4f(x)(log x)log x5x2414214已知函数 ， ，则当x _时，f(x)有最大值_当 x=_时，f(x)有最小值_ 5 函数 f(x)的定义域是( ，1)，则 f(log2(x21)的定义域是_ 6.不等式21log (6)3xx的解集为 。 7.若4( )lg(5)5xxf xm的值域为 R ，则m的取值范围是 。 8log1aa如果 ，则 的取值范围是25