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1、内容回顾内容回顾分部积分公式分部积分公式1. 使用原则使用原则 : 易凑出易凑出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指弦反对幂指弦” , 前前 u 后后3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环解出循环解出;递推公式递推公式4. 补充多次分部积分的快速计算法补充多次分部积分的快速计算法 :(u是保留部分是保留部分, v是凑得部分是凑得部分)多次分部积分多次分部积分快速计算表格快速计算表格:特别特别: 当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,计算大为简便计算大为简便 . 注注:是是的原函数的原函数例例11. 求求解解: 取取说明说明: 此法特别适用于此法特别适用于如下类型
2、的积分如下类型的积分: 例例12. 求解解: 令则=(前面已讲过前面已讲过)备用题备用题.求不定积分求不定积分解：解：方法方法1(先分部先分部 , 再换元再换元)令令则则1.方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令则故故 基本积分法基本积分法 : 直接积分法直接积分法 ;换元积分法换元积分法 ;分部积分法分部积分法一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例4.4 有理函数的积分本节内容本节内容: : 第四章第四章 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分1.有理函数的定义有理函数的定义时时,为假分式为假分式;时时,为真分式为真分式有理函数有理函
3、数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和函数函数称为有理函数称为有理函数. 其中分子分母分别为其中分子分母分别为n次和次和m次多项式次多项式,且且总假定无公因式总假定无公因式.(其形式由分母的因子决定其形式由分母的因子决定)2.多项式分解定理多项式分解定理其中其中3.真分式分解成部分分式的和真分式分解成部分分式的和(nm)+4.有理函数的积分有理函数的积分有理函数有理函数的积分转化为下列三种形式的积分转化为下列三种形式的积分多项式的积分多项式的积分(容易容易)(容易容易)(容易容易)记记再利用递推公式或三角替换再利用递推公式或三角替换(P206例例27
4、)(已讲但不需要记忆已讲但不需要记忆)至此至此,理论上有理函数的积分就算解决了理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数为初等函数其原函数为初等函数.但有两大难点但有两大难点: 1)部分分式中系数的确定部分分式中系数的确定2)分母的因式分解分母的因式分解, 且有时无法解决且有时无法解决.(有时很繁有时很繁)例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法用拼凑法(2) 用赋值法用赋值法故故通分得通分得,得得,令令得得,令令得得,(3) 混合法混合法原式原式 =两边两边x，再取极限（再取极限（x）得）得, 再令再令x=0得得,(4) 比较系数法比较系数法原
5、式原式 =通分后的分子恒等通分后的分子恒等,比较系数得比较系数得,解得解得,例例2. 求解解: 已知已知例例3. 求求解解: 原式原式例例4. 求求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. 例例5. 求求解解: 原式例例6. 求求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设设表示三角函数有理式表示三角函数有理式 ,令令万能代换法万能代换法t 的有
6、理函数的积分的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则代入原积分得代入原积分得,转化为转化为例例7. 求求解解: 令则例例8. 求求解解: 说明说明: 通常求含通常求含的积分时的积分时,往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代换用代换例例9. 求求解解:原式原式2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令令令被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:令令例例10. 求求解解: 令令则则原式原式例例11. 求求解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式
7、, 取根指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数最小公倍数 6 ,则有则有原式原式令令例例12. 求求解解: 令令则则原式原式( 1)+1原式令例例13P218 (24)内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , 简便计算简便计算 .简便简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式原式作业作业P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
