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1、7 . 曲曲 率率高等数学A一复习资料及上海大学出版社一、弧微分一、弧微分在曲线上取基点在曲线上取基点 M0(x0,y0),设设 y = f (x) 在在 (a, b) 内有连续导数，内有连续导数，M(x, y) 为曲线上任一点，为曲线上任一点，xy0M0 .x0M .x记记 弧长弧长 s = M0M规定规定规定规定 依依 x 增大的方向增大的方向作为曲线的正向。作为曲线的正向。(即即 M 在在 M0 右，右，S 0)s 随随 x 的增大而增大的增大而增大, s = s(x) 是是 x 的的单调增加函数。单调增加函数。aby = f (x)高等数学A一复习资料及上海大学出版社设设 x 有增量有
2、增量x ,相应有相应有s , 在曲线上的对应点为在曲线上的对应点为M, M,则则s = MM M0MM0M=MM=MMMMMMMMxy0M0 .x0M .xM.y = f (x) =MMMMMMMMs = s (x)高等数学A一复习资料及上海大学出版社 s (x) 为单增函数，为单增函数， s (x) 0 ,MMMMMM. 弧微分公式弧微分公式MMMM= 1,高等数学A一复习资料及上海大学出版社几何意义：几何意义：xy0M0 .x0M .xMy = f (x)P弧微分弧微分 d s 表示了表示了M点处点处切线段切线段MP 的长度的长度。当切线正向与曲线方向一致，且与当切线正向与曲线方向一致，且
3、与 x 轴夹角为轴夹角为 ，则有则有高等数学A一复习资料及上海大学出版社当曲线方程为当曲线方程为 y = f (x)，当曲线当曲线 y = f (x) 是用参数方程是用参数方程当曲线用极坐标方程当曲线用极坐标方程y 有连续导数有连续导数,高等数学A一复习资料及上海大学出版社二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式.在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度高等数学A一复习资料及上海大学出版社考察曲线的弯曲程度：考察曲线的弯曲程度：曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角AB相等的情况下，相等的情况下，(1) 不弯不弯(2)
4、弯曲弯曲(3) 弯得厉害弯得厉害成正比。成正比。AB(2)AB(3)AB(1)高等数学A一复习资料及上海大学出版社1. 与切线转角与切线转角 成正比成正比M1M2M3 对同一条曲线对同一条曲线高等数学A一复习资料及上海大学出版社2. 与曲线弧长与曲线弧长 S 成反比成反比曲线弯曲得越厉害。曲线弯曲得越厉害。ABB S S AAB越小越小高等数学A一复习资料及上海大学出版社即为曲线在点即为曲线在点 M 处的处的曲率曲率。称为称为AB的的平均曲率平均曲率。= k1. 与切线转角与切线转角 成正比成正比2. 与曲线弧长与曲线弧长 S 成反比成反比= k高等数学A一复习资料及上海大学出版社考察直线的曲
5、率。考察直线的曲率。曲率为曲率为 0 的曲线是直线。的曲线是直线。1.1.考察半径为考察半径为 R 的圆上各点处的曲率。的圆上各点处的曲率。例：例：ABR圆上取两点圆上取两点 A ，B ，AB k即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数。即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数。2.2. k= 0， k = 0.半径越大，弯曲越小。半径越大，弯曲越小。反之亦然。反之亦然。o高等数学A一复习资料及上海大学出版社曲率的计算公式曲率的计算公式(1)设曲线方程设曲线方程 y = f (x) 二阶可导，二阶可导，由定义，由定义，高等数学A一复习资料及上海大学出版社曲线方程曲线方程 y = f (x) 二阶可导，
6、二阶可导，拐点处的曲率为拐点处的曲率为 0 。(1)(2)曲线方程由参数方程曲线方程由参数方程在实际问题中，在实际问题中，给出，给出，(3)曲线方程由极坐标方程曲线方程由极坐标方程高等数学A一复习资料及上海大学出版社三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径设设 y = f (x) 在点在点 M (x, y) 处的曲率为处的曲率为 k ,在在 M 点处凹的一侧的法线上取一点点处凹的一侧的法线上取一点 D，xy0. M. D以以 D 为中心，为中心， 为半径作圆，为半径作圆，则此圆称为曲线在点则此圆称为曲线在点M处的处的曲率圆曲率圆。就称为就称为曲率半径曲率半径。曲率圆与曲线曲率圆与曲线在在M点处
7、不仅有相同的点处不仅有相同的切线切线与与曲率曲率，还有相同的，还有相同的凹向凹向。在在M点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。高等数学A一复习资料及上海大学出版社例例 题题 讨讨 论论例例1：并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？解：解：则分母为最小时则分母为最小时 k 最大。最大。处曲率最大。处曲率最大。高等数学A一复习资料及上海大学出版社例例2：的曲率及在的曲率及在时的曲率半径。时的曲率半径。解：解：高等数学A一复习资料及上海大学出版社8 . 方程的近似解方程的近似解一、一、 二分法二分法二、二、 切线法切线法（ 自学自学 ）高等数学A一复习资料及上海大学出版社习习 3 7 (A)课课 外外 作作 业业 1，4习习 3 7 (B) 1，3高等数学A一复习资料及上海大学出版社洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容高等数学A一复习资料及上海大学出版社
