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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程一、教学目标：一、教学目标：1 1知识与技能：知识与技能：通过实验，观察、发现和认识抛物线.通过建立不同的坐标系，比照所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性.由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会.抛物线的定义是由“与一定点和定直线等距离的动点的轨迹”得出来的.由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难， 教学中应根据图形培养学生运用三种语言的能力.借助图形是原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆.2 2过程与方法：过程与方法：以多媒体教学课件为依托，采用实验探索、类比法、图表法.实验探索：通过实验、演示，观察
2、得出动点的轨迹是一条抛物线，在用坐标法探求方程.类比法：由椭圆、双曲线的定义、标准方程、性质的求法，类比出抛物线的定义、标准方程、性质.类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担.图表法：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们比照，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识.多媒体课件的介入可以增强课堂的趣味性， 能够在动态演示中化解教学难点， 有效的解决教学重点.二、教学重点、难点：二、教学重点、难点：重点：坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点.难点：引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化.三、学情分析三、学情分
3、析1能力分析：学生已掌握椭圆、双曲线曲线的形成过程及方程的推导过程.借此课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识.2.认知分析：学生已熟悉椭圆、双曲线的形成过程和方程的推导的基本步骤.四、教学程序：四、教学程序：1.复习回忆：课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知F 是平面上一个定点， 是平面上不过点 F 的一条定直线，点 M 到定点 F 的距离和到定直线 的距离的比是一个常数e，改变这两个距离大小的关系即常数e 的大小，观察动点 M 的轨迹.学生观察 ：两个距离大小的变化； 并追踪：动点 M 得到的轨迹形状.然后记下实验追踪结果.学生交流：当 oe1 时动点
4、 M 得到的轨迹是椭圆；当e1 时是双曲线.引发探究：进而引发探究欲望：当e=1 时，它又是什么曲线呢？l ll lMMF F MMl lMMF F F F e e1 10 0e e 1 1提出问题：当 e=1 时，它又是什么曲线？2.问题探究、观察归纳，形成定义观察：当 e=1 时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过独立思考和互相讨论， 并交流看法.归纳：抛物线的定义a)要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线.b)标准学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字.c)强调定义的中心句和关键词让学生自己找出.并与椭圆、双曲线的定义进行比较.反思：在抛物线定义中， 要注意定点 F 不在定
5、直线 上. 假设定点 F 在定直线 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？此时退化为过F 点且与直线垂直的一条直线.当e=1时， 即|MF|=|MH| ， 点M的轨迹是什么？通过几何画板的演示， 让学生主动获取概念：我们把这样的一条曲线叫做抛物线.3.形成概念抛物线的定义:d dMMC C在平面内,与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离H H相等的点的轨迹叫抛物线.F F点 F 叫抛物线的焦点, 直线 l 叫抛物线的准线，即假设e=1e=1 | MF |1，则点M的轨迹是抛物线.d4.合作交流，导出方程 l le e=1=1d d 为为 MM 到到 l l 的距离的距离类比：类比
6、椭圆、双曲线标准方程的建立过程用屏幕显示图形，让学生认真捉摸坐标系的位置特点， 感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好 力求使其方程形式最简单. a)使图象过坐标原点可使常数项为零； b)使图象的对称轴为 x 轴(或 y 轴)可使方程中不含 y(或 x)的一次项.合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程可以请学生将自己的感悟画在纸板上.学生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价.然后选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立.请学生口头表达焦点 F 的坐标和准线 L 的方程.反思：建系方案的合理性.在建立抛物线的标准方程时， 以抛物线的顶点为坐标原点， 对称轴
7、为一条坐标轴建立坐标系。 这样使标准方程不仅具有对称性， 而且曲线过原点， 方程不含常数项， 形式更为简单，便于应用.探究：抛物线的标准方程的其它形式在建立椭圆、 双曲线的标准方程时， 选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？让学生分组求出其它三种形式的标准方程， 师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格.观察、归纳，寻找异同：再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系.从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系？以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中
8、点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设M(x, y),| FK | P, 则 焦 点F(Pp,0),准 线l : x ， 依 题 意 得22(x p2p) y2| x |，两边平方，整理得y2 2px(p 0)即为所求的轨迹方程.22如图： y yy yy yo ox xo ox xo ox xo oy yx x方案方案(1)(1)方案方案(2)(2)方案方案(3)(3)方案方案(4)(4)5.练习反馈，稳固提高例 1求以下抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)(1)y 20x(2)(2)x y(3)(3)2y 5x 0(4)(4)x 8y 0(1)(1)(2)(2)(3)(3)焦点坐标焦点坐标
9、(5,0)准线方程准线方程x 52222145(,0)8(0, )145y 8y (4)(4)(0,2)y 2例 2根据以下条件，写出抛物线的标准方程：焦点是F(3,0);1；4焦点到准线的距离是2.准线方程是y 2例 2 答案：y12xx yx 4y或y 4x222设计意图：求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法.关键是定轴向求 p 值写方程。假设开口方向不定，则要注意分类讨论的思想.在认识事物的过程中， 我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点， 还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点.6.实际应用一种卫星接收天线的轴截面如以下图所示 .卫星波束呈近似平行状态射入轴
10、截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口直径为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点即抛物线的顶点与原点重合.2yAo.FBx设抛物线的标准方程是y 2px(p 0)，由已知条件可得，点A的坐标是(0.5,2.4)，代入方程，得2.4 2P2.5,解得p 5.76.所以，所求抛物线的标准方程是y11.52x，焦点的坐标是2.88,0).223m，宽1.6m，欲通过截面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，假设拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值
11、.DDA AB B解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立坐标系 aa设抛物线方程为x2 2pyp 0,则B,24y ya由点B在抛物线上，可得p ,x2 ay2OC C0.64E Ex x将点E 0.8, y 代入抛物线，得：y F Faaa0.64点E到拱底AB的距离为 | y | 3D DA AB B44a解得a 12.21或a 0.21a 13设计意图：学会把实际问题转化为数学模型，使生活与数学紧密地结合，让学生学会从数学的角度解决实际问题.7.学习小结：1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程有四种不同的形式，每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义：焦点到准线的距离.p的正
12、负号决定抛物线的开口方向.C C五、教学反思五、教学反思成功之处：1.课前的引课很精彩，联系学生身边的实例， 感受数学就在我们的身边， 并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过一生表达步骤起到指导全体学生的作用.实物投影展示学生的作品， 给学生以成功的体验.作图后让学生反思自己的作图过程， 加深学生对作图的理解，标准作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度， 因此我设计一系列问题串， 让学生观察图象答复，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在新
13、知的稳固应用环节， 我精心设计了不同题型的问题， 很好稳固应用了本节的新知， 课堂收到了较好的教学效果.不足之处：1.在分组作图教学时，课堂上有一部分学生没有进行完，此处给学生的时间少一些.2.在探索二次函数的图象和性质的活动中， 问题提得过细， 没有让学生有更多的思考交流和评价的过程，限制了学生思维的发展.3.课堂过于沉闷.总之，通过本节课，让我真正意识到：对于每节课的教学不能仅仅凭经验设计.在每节课的课前，一定要进行精心的预设.在课堂中，同时要结合课堂的实际效果和学生的情况注意灵活处理课堂生成，并及时调节自己的教学.课堂上在进行分组教学时，提前预设好教学时间，在每节课上，既要放的开，同时又要注意在适当的时机收回，以保证每节教学基本任务的完成.
