2022年-高等代数期末复习

《2022年-高等代数期末复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年-高等代数期末复习（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第六章线性空间一线性空间的判定线性空间中两种运算的条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和条运算规律中有一条不满足即可。例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）全体 n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：1） 否。因两个 n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523nnxx（）（）。2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，即全体 n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线

2、性空间的。“全体n阶反对称矩阵”是“ n阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。当 A，B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - （ A+B）=A +B =-A-B=-(A+B），即A+B仍是反对称矩阵。AkAkAA（k ）（） （k ），所以 kA 是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。例：齐次线性方程组 Ax=0的全体解向量的集合，对于向量的

3、加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。而非齐次线性方程组Ax=b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。二、基维数坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n个线性无关的向量12n,L使 得 ： V中 任 一 向 量都 可 由12n,L线性表示，那么，12n,L就称为线性空间V 的一个 基，n称为线性空间V 的维数 。记作dimV=n。维数为n的线性空间称为n维线性空间。定义（向量的坐标） ：设12n,L是线性空间nV的一个基。对于任一元素nV，总有且仅有一组有序数,21nxxx使则nxxx,21这组有序数就称为元素a在基底12n,L下

4、的坐标，并记作12,Tnxx xxL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 例：在线性空间22R中，就是22R的一个基。22R的维数为 4. 任一 2 阶矩阵因此 A 在4321,AAAA这个基下的坐标为Tdcba,。若另取一个基1111,0111,0101,00014321BBBB。则4321)()()(dBBdcBcbBbadbcaA因此 A 在4321,BBBB这个基下的坐标为Tddccbba,。例：考虑全体n

5、阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18条性质，即全体 n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n阶对称矩阵”是“ n阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间 。(1)ijjiEEijn即 为 它 的 一 组 基 。 共名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - (1)122n nnL个，

6、维数是(1)2n n例：设1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1 1),(1, 1, 1,1),(1,2,1,1)。在4P 中，求向量在基4321,下的坐标。设有线性关系1234abcd，则1121dcbadcbadcbadcba，可得在基4321,下的坐标为41,41,41,45dcba。例：在4P中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。解：对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2，它的一组基为0, 1 ,38,911a，1 ,0,37,922a。例：设1V与2V分别是齐次方程组nnnxxxxxxx12121.,0.的 解空 间 ， 证 明 ：名师资料总结

7、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - .21VVPn证：由于0.21nxxx的解空间是 n1维的，其基为)1,.,0,0 , 1(),.,0,.,1 , 0, 1(),0,.,0, 1 , 1(121n而由nnxxxx121.知其解空间是 1 维的，令, 1nx则其基为).1,.,1 , 1(且,.,121n即为nP的一组基，从而.21VVPn又)dim()dim()dim(21VVPn，（也可由交为零向量知）故.21VVPn三、

8、基变换与坐标变换基变换： 设n,21及n,21是线性空间nV中的两个基，若或简记为=（n,21）nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=（n,21）A（）则矩阵 A 称为由基n,21到基n,21的过渡矩阵 。（） 式称为基变换公式 . 坐标变换： 设nV中的元素，在基n,21下的坐标为Tnxxx,21，在基n,21下的坐标为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - Tnyyy,21。若两个基满足关系式（6

9、-2），则有 坐标变换公式nxxx21Anyyy21，或nyyy21=1Anxxx21第七章线性变换一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换 .定义： 线性空间V的一个变换A 称为线性变换，如果对于V中任意的元素,和数域P中任意数k，都有A()= A()+ A();A(k)= Ak().一般用花体拉丁字母A，B，表示V的线性变换， A()或 A代表元素在变换 A 下的像 . 例?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） ?在线性空间 V 中，A,其中V 是一固定的向量；2） ?在线性空间 V 中，A其中V 是一固定的向量；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

10、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3）?在 P3中，A),(),(233221321xxxxxxx；4）?在 P3中，A),2(),(13221321xxxxxxxx；解：1)当0时,是;当0时,不是。2)当0时,是;当0时,不是。3)不是. 例如当)0,0, 1(,2k时,kA)0,0,2()(,A)0, 0, 4()(k, A)(kkA()。4)是.因取),(),(321321yyyxxx,有A)(=A),(332211yxyxyx=),22(113322

11、2211yxyxyxyxyx=),2(),2(1322113221yyyyyxxxxx=A +A，A)(kA),(321kxkxkx=kA)(，故 A 是3P上的线性变换。二、线性变换关于基的矩阵定义： 设n,21是数域P上n维线性空间V的一组基， A 是V中的一个线性变换 .基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A（n,21）= （A(1)，A(2)， A(n)）=An),(21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - -

12、 - 其中矩阵A称为线性变换 A 在基n,21下的矩阵 . 定理： 设线性变换 A 在基n,21下 的 矩 阵 是A， 向 量在 基n,21下 的 坐 标 是),(21nxxx, 则 A在 基n,21下的坐标),(21nyyy可以按公式计算. 例：在空间nxP中，线性变换D)()(xfxf在基)!1(,! 2, 112nxxxn下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系. 线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的. 一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵. 为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理： 设线性空间V中线性变换

13、A 在两组n,21（6）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - n,21(7)下的矩阵分别为A和B，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是AXXB1.定理告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系为 相似.定义： 设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可 以 找 到 数 域P上 的n级 可 逆 方 阵X， 使 得AXXB1，就说A相似于B，记作BA .相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反

14、身性：AA 2. 对称性：如果BA ，那么AB .3. 传递性：如果BA ,CB ,那么CA .线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果XAXB111, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - XAXB212，那么XAAXBB)(21121,由此可知，如果AXXB1，且)(xf是数域P上一多项式，那么

15、利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：3R上的线性变换 T 在基1111000 ,1 ,0001下的矩阵为121012111A则基在123,2,下的矩阵为（ A）（A）141011121（B）141044121（C）121101211 1（D）242024222例：已知3P中线性变换 A 在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是121011101，求 A 在基名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - -

16、- - - - - - - 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵。解：因为 (1,2,3)=(1,2，3)111101011，所以(1,2，3)=(1,2,3)101110111=(1,2,3)X，故 A 在基1,2，3下的矩阵为1BXAX =111101011121011101101110111=203022211。四、线性变换的特征值和特征向量定义： 设 A 是数域P上线性空间V的一个线性变换 , 如果对于数域P中一数, 存在一个非零向量, 使得A=（1）那么称为 A 的一个特征值 , 而叫做 A 的属于特征值的一个特征向量 . 如果是线性变换A 的属于特征值

17、的特征向量，那么的任何一个非零倍数k也是 A 的属于特征值的特征向量 . 这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.特征值与特征向量的求法：确定一个线性变换A 的一个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1. 在线性空间V中取一组基n,21，写出 A 在这组基下的矩阵A；2. 求出A的特征多项式EA在

18、数域P中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；3. 把所求得的特征值逐个地代入方程组12()0nxxEAxM（），对于每一个特征值，解方程组（），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n,21下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量 . 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组（）的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量 . 例设线性变换 A 在基321,下的矩阵是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

19、- - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 122212221A, 求 A 的特征值与特征向量 .例设矩阵A为340430241A, (1) 问A能否相似于对角阵？（ 2）若能，求一个可逆矩阵P，使得APP1为对角阵 .例在空间nxP中，线性变换D)()(xfxf在基)!1(,! 2, 112nxxxn下的矩阵是D的特征多项式是nDE0001000010001. 因此，D的特征值只有0. 通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值 0的线性无关的特征向量组只能是任一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

20、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 非零常数 . 这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数. 五、线性变换的值域与核定义： 设 A 是线性空间V的一个线性变换， A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用 AV表示.所有被 A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用 A)0(1表示.若用集合的记号则AV=VA|, A)0(1=VA,0|线性变换的值域与核都是V的子空间 . AV的维数称为 A的秩， A)0(1的维数称为 A 的零度. 第九章欧氏空间一、欧氏空间举例例 1 在线性空间nR中,对于向量),(, )

21、,(2121nnbbbaaa, 定义内积.),(2211nnbababa(1) 则内积 (1)适合定义中的条件，这样nR就成为一个欧名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 几里得空间 .仍用来表示这个欧几里得空间. 例 2 在nR里,对于向量),(, ),(2121nnbbbaaa定义内积.2),(2211nnbnababa则内积(1)适合定义中的条件，这样nR就也成为一个欧几里得空间. 对同一个线性空间可以引入不同

22、的内积,使得它作成不同的欧几里得空间 . 例 3 在闭区间,ba上的所有实连续函数所成的空间),(baC中,对于函数)(),(xgxf定义内积badxxgxfxgxf)()()(),(. ),(baC构成一个欧几里得空间 . 柯西-布涅柯夫斯基不等式 ：即对于任意的向量,有当且仅当,线性相关时，等式才成立 . 对于例 1 的空间nR，(5)式就是对于例 2 的空间),(baC，(5)式就是要求：正交矩阵的定义、判断、性质定理：对于任意一个 n级实对称矩阵， A 都存在正交矩阵T，使ATTATT1成对角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

23、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 定理： 任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211nnyyy, 其中平方项的系数n,21就是矩阵A的特征多项式全部的根注意：正定矩阵的判断与性质正定二次型的判断（列举判断条件）二例题选讲例求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。解：首先可求得基础解系为的交化得单位化得321,即为所求的标准正交基。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -