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1、名师总结优秀知识点数列知识点和常用的解题方法归纳一、等差数列的定义与性质定 义 ：为 常 数，aad daandnnn111()等差中项：， 成等差数列xAyAxy2前 项和nSaannan ndnn11212性质：是等差数列an（ ）若，则；1mnpqaaaamnpq（） 数 列，仍 为 等 差 数 列 ；2212aak abnnnSSSSSnnnnn，仍为等差数列；232（ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（ ）为等差数列（ ， 为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0 的二次函数）S
2、Sanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa31322233113Saanaannnnn12122131218n27）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师总结优秀知识点二、等比数列的定义与性质定义：（ 为常数，），aaqqqaa qnnnn1110等比中
3、项：、 成等比数列，或xGyGxyGxy2前 项和：（要注意 ）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（ ）若，则1mnpqaaaamnpq（），仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、nnaS 求由；（时，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，naaannn2121212215212211时，12122得：nna，ann21，annnn141221()()练习数列满足，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSS
4、nnnnn1114又，是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，4、叠乘法例如：数列中，求aaaannannnn1131精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师总结优秀知识点解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann1335、等差型递推公式由，求，用迭加法aaf naaannn110( )naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：( )( )( )aafff nn123( )( )( )aafff nn023( )( )( )练习数列，求aaaanann
5、nnn111132（）ann12316、等比型递推公式acad cdccdnn 1010、 为常数，可转化为等比数列，设axc axnn 1acacxnn 11令，()cxdxdc11是首项为， 为公比的等比数列adcadccn111adcadccnn1111aadccdcnn1111练习数列满足，求aaaaannnn11934精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师总结优秀知识点（）ann843117、倒数法例如：，求aaaaannnn11122，由已知得：1221211aaaannnn11121aann，11112
6、1aan为等差数列，公差为11112121annn，ann21三、求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求ada ankkkn111解：由11111011aaaaddaadkkkkkk11111111a adaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn练习求和：111211231123n（，）aSnnn2113、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项aba bnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：S
7、xxxnxnn12341231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师总结优秀知识点xSxxxxnxnxnnn234122341121121：x SxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnn nn112312时，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121相加21211Saaaaaannnn练习已知，则f xxxfffffff( )( )( )( )( )2211212313414（由 f xfxxxxxxxx( )1111111112222
8、222原式fffffff( )( )( )( )121231341412111312）例 1 设an是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列 an前 8 项的和为（）A128 B 80 C64 D56 （福建卷第3 题）略解：a2 +a7= a1+a8=16，an 前 8 项的和为64，故应选C例 2 已知等比数列na满足122336aaaa，则7a（）A 64 B 81 C 128 D243 （全国卷第7 题）答案： A例 3 已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前 5 项和等于（）A30 B45 C 90 D186 （北京卷第7 题）略解： a5-a2=3d=
9、9， d=3 ，b1=26a， b5=a10=30，nb的前 5 项和等于90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师总结优秀知识点故答案是 C例 4 记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A2 B3 C 6 D 7 （广东卷第4 题）略解：422412,3SSSdd,故选 B. 例 5 在数列na中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,a b为常数，则ab （安徽卷第15 题）答案： 1例 6 在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则na（）A 2ln n B
10、2(1)lnnnC 2lnnn D1lnnn（江西卷第5 题）答案： A例 7 设数列na中，112,1nnaaan，则通项na_ （四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11nnaan中1,nnaa系数相同是找到方法的突破口略解：112,1nnaaan111nnaan，1221nnaan，2331nnaan，3221aa，211 1aa，1211a将以上各式相加，得1232 11nannnn111122nnn nn，故应填(1)2n n+1例 8 若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( ) A 6 B 7 C 8 D9 (
11、 重庆卷第10 题) 答案： B使用选择题、 填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、 理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主， 如，例 4 以前的例题 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题，浙江卷第4题，陕西卷第4 题，天津卷第4 题，上海卷第14 题，全国卷第19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列，a
12、1=1，且点（1,nnaa） （nN* ）在函数y=x2+1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师总结优秀知识点的图象上 . ()求数列 an的通项公式；()若数列 bn满足 b1=1，bn+1=bn+2na，求证：bnbn+2b2n+1. （福建卷第20 题）略解： （）由已知，得an+1-an=1，又 a1=1,所以数列 an是以 1为首项，公差为1 的等差数列故an=1+( n-1)1=n. ()由 （）知，an=n，从而 bn+1-bn=2n， bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ （b2-b1
13、） +b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1 . bn?bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+ 1-1)2= -2n 0, bnbn+2b21n对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bn bn+2- b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b21n=2n+1 bn+1-2n bn+1-2n 2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，bn-bn+2b2n+1.例 10 在数列na中，11a，122nnnaa （）设12nnnab证明：数列nb是等差数列； （）求数列na的
14、前n项和nS （全国卷第19 题）略解： （）1nnbb=1122nnnnaa=122nnnaa=22nn=1，则nb为等差数列，11b，nbn，12nnan（）01211 22 2(1) 22nnnSnn，12121 22 2(1) 22nnnSnn两式相减，得01121 222221nnnnnSnn=(1)21nn对于例 10 第 （）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数 可以用迭代法， 但不可由 b2-b1=1，b3-b2=1 等有限个的验证归纳得到nb为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错
15、项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列” 求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第19 题，辽宁卷第20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方
16、法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主例 11 等差数列na的各项均为正数，13a， 前n项和为nS，nb为等比数列 , 11b，且2264,b S33960b S( )求na与nb； ()求和：12111nSSS （江西卷第19精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师总结优秀知识点题）略解： ( )设na的公差为d，nb的公比为q，依题意有22233(6)64,(93 )960.S bd qS bd q解之，得2,8;dq或6,540.3dq( 舍去，为什么？) 故132(1)21,8nnnannb（）35(nSnn
17、n，1211111111 3243 5(2)nSSSn n111111(123243511)2nn1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度， 对合理区分较高能力的考生起到重要的作用例 12 设数列na的前n项和为22nnnSa，（） 求14,a a；（） 证明：12nnaa是等比数列； （）求na的通项公式 （四川卷第
18、21 题）略 解 ： （ ） 1111,22aSaS， 所 以112,2aS 由22nnnaS知 ，11122nnnaS112nnnaS得，112nnnaS222122226,8aSS，3332328216,24aSS，443240aS（）由题设和式知，11222nnnnnnaaSS122nn2n，12nnaa是首项为2，公比为2 的等比数列（）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa112nn此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等 推移脚标，两式相减是解决含有nS的递推公式的重要手段，使其转化为不含nS的递推公式，从而有针精选学习资料 - - -
19、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师总结优秀知识点对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向例 13 数列na满足, 2,021aa222(1 cos)4sin,1,2,3,22nnnnaan（ I ） 求43,aa， 并 求 数 列na的 通 项 公 式 ；（ II ） 设1321kkSaaa，242kkTaaa，2(2kkkSWkT)N， 求使1kW的所有 k 的值， 并说明理由 （ 湖南卷第 20 题）略解： （ I）22
20、311(1 cos)4sin44,22aaa22422(1cos)4sin24,aaa一般地 , 当21()nkkN=时，22212121(21)(21)1cos4sin4,22kkkkkaaa即21214.kkaa所 以 数 列21ka是 首 项 为0、 公 差 为4 的 等 差 数 列 ， 因 此214(1).kak当2 ()nk kN=时，22222222(1 cos)4sin2,22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2 、 公 比 为2的 等 比 数 列 ， 因 此22 .kka故 数 列na的 通 项 公 式 为22 (1 ) ,21 () ,2,2() .nnnnkkNank kN（II ）由（ I）知，1321kkSaaa=044(1)2 (1),kk k242kkTaaa2122222,kk12(1).22kkkkSk kWT于是，10,W21,W33,2W43,2W55,4W61516W. 下面证明: 当6k时，1.kW事实上, 当6k时，11(1)(1)(3)0,222kkkkkkkk kkkWW即1.kkWW又61,W所以当6k时，1.kW故满足1kW的所有 k 的值为 3,4,5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
