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1、学习必备欢迎下载2.2.2 二次函数的三种表示方式（第六讲）通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式： yax2 bxc(a 0)；2顶点式： ya(x h)2k (a 0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a 0)的图象与x 轴交点个数当抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴交点的横坐标 （纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴交
2、点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1） 当 0 时， 抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点； 反过来，若抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴没有交点； 反过来， 若抛物线yax2
3、bxc(a 0)与 x 轴没有交点，则 0 也成立于是，若抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1， x2是方程ax2bxc0 的两根，所以x1x2ba，x1x2ca，即ba (x1x2)，ca x1x2所以， yax2 bxca(2bcxxaa) = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bx c(a 0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点， 则其函数关系式可以表示为ya(x x1) (x x2) (a 0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：
4、ya(x x1) (xx2) (a 0)，其中 x1，x2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的解析式分析： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解： 二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
5、 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1 上，所以， 2x1， x1顶点坐标是（1，2） 设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3， 1） ，21(32)1a，解得 a 2二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y 2x28x7说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一： 由于题目
6、所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点( 3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0) ，展开，得y ax22ax3a，顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离 2，|4a|2，即 a12所以，二次函数的表达式为y21322xx，或 y21322xx分析二： 由于二次函数的图象过点(3，0)， (1， 0)，所以，对称轴为直线x 1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解
7、，然后再利用图象过点(3，0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式解法二： 二次函数的图象过点( 3，0)，(1，0)，对称轴为直线x 1又顶点到x 轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或 2于是可设二次函数为ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或 0a(1 1)22a12，或 a12所以，所求的二次函数为y12(x1)22，或 y12(x 1)22说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题例 3已知二次函数的图象过点(1， 22
8、)，(0， 8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解： 设该二次函数为yax2bxc(a 0)由函数图象过点( 1， 22)，(0， 8)，(2， 8)，可得22,8,842,abccabc解得a 2，b12，c 8所以，所求的二次函数为y 2x212x8通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载来求二次函数的表达式？练习1选择题 : （1）函数 y x2x1 图象与 x 轴的交点个数是（）（A）0 个（B）1 个（C）2
9、 个（D）无法确定（2）函数 y12(x1)22 的顶点坐标是（）（A）(1，2) （B）(1， 2) （C）(1，2) （ D）(1， 2) 2填空：（ 1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点 ( 1， 0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y a(a 0) （2）二次函数y x2+23x 1 的函数图象与x轴两交点之间的距离为3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点 (1， 2)，(0， 3)，(1， 6)；（2）当 x3 时，函数有最小值5，且经过点 (1， 11)；（3）函数图象与x 轴交于两点 (12，0)和(12，0)，并与 y 轴交于 (0， 2)2.2.3 二
10、次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例 1 求把二次函数yx24x3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2 个单位，向下平移1 个单位；（2）向上平移3 个单位，向左平移2 个单位分析： 由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以
11、只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解： 二次函数 y2x24x 3 的解析式可变为y2(x1)21，其顶点坐标为(1， 1)（1）把函数 y2(x 1)21 的图象向右平移2 个单位， 向下平移 1 个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(3， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2(x3)2 2（2）把函数 y2(x 1)21 的图象向上平移3 个单位， 向左平移 2 个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的
12、函数图象对应的函数表达式就为y2(x1)2 22对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，x y O x 1 A(1,1) A1(3,1) 图 2.27 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例
13、2求把二次函数y2x2 4x1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x 1；（2）直线 y1解： （1）如图 227，把二次函数y2x24x1 的图象关于直线x 1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状由于 y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1 图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(3， 1)，所以，二次函数y2x24x1 的图象关于直线x 1 对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即 y2x212x17（2）如图 22 8，把二次函数y2x24x 1 的图象关于直线x 1 作对称变换后， 只改变图象的
14、顶点位置和开口方向，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1 图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数 y2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y 2(x1)23，即 y 2x24x1二、分段函数一般地， 如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 例 3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资160 分，超过40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封xg(0x100) 的信应付多少邮
15、资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析： 由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20x40 ）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160 分） 解： 设每封信的邮资为y（单位：分） ，则 y 是 x 的函数这个函数的解析式为8 0,( 0, 2 0 1 6 0( 20 , 4 0 2 4 0 ,9 4 0, 8 0 3 2 0( 6 0, 8 0 4 0 0 ,( 8 0, 1 0 0xxyxxx由上述的函数解析式，可以得到其图象如图229 所示例 4 如图 92
16、 所示，在边长为2 的正方形ABCD 的边上有一个动点P，从点 A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到 A 点设点A 移动的路程为x， P AC 的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围分析： 要对点 P 所在的位置进行分类讨论解： （1）当点P 在线段 AB 上移动（如图2210） ，即 0x2 时，y12AP BCx；x y O y 1 A(1,1) B(1，3) 图 2.28 A C B D P 图 2.210 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载当点 P 在线段 BC 上移动（如图2210） ，即 2x 4 时，y12PC AB1(4) 22x4x；当点 P 在线段 CD 上移动（如图2210） ，即 4x6 时，y12PC AD1(4) 22xx4；当点 P 在线段 DA 上移动（如图2210） ，即 6x 8 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
