多项式的整除－金锄头文库

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1、2.5 多项式的整除2021/3/111 设设F F是一个数域，是一个数域，FxFx是是F F上一元多项式环。上一元多项式环。一、多项式整除的定义与性质。一、多项式整除的定义与性质。多项式整除的定义多项式整除的定义定义定义：令令f(x)和和g(x)是数域是数域F F上多项式环上多项式环Fx的两的两个多项式，如果存在个多项式，如果存在Fx的多项式的多项式h(x), ,使使 g(x)=f(x)h(x) 则称则称f(x)整除（能除尽）整除（能除尽）g(x). . 记为记为 f(x)|g(x) 此时称此时称f(x)是是g(x)的的因式因式， g(x)是是f(x)的的倍式倍式。否则，则称否则，则称

2、f(x)f(x)不整除不整除g(x),g(x),记作记作f(x) g(x).2021/3/112注：注：1.1.f(x)|g(x)f(x)|g(x)不能不能写作写作f(x)/g(x),f(x)/g(x),以免与以免与分式混淆。分式混淆。2.2.整除性整除性不是多项式的运算，它只是不是多项式的运算，它只是FxFx元素间的一种关系。元素间的一种关系。3.3.若若f(x)|g(x),f(x)|g(x),则则( (f(x)f(x) (g(x)(g(x)4.4.若若f(x) f(x) g g（x x），），则对任意则对任意h(x)Fx,h(x)Fx, g(x)=f(x)h(x) g(x)=f(x)h(x

3、)均均不不成立。成立。 2021/3/113问题：1 1。零多项式能否整除零多项式？。零多项式能否整除零多项式？2 2。任意非零多项式能否整除零多项式？。任意非零多项式能否整除零多项式？3 3。零多项式能否整除任意非零多项式？。零多项式能否整除任意非零多项式？4 4。零次多项式能否整除任意多项式？。零次多项式能否整除任意多项式？5 5。零次多项式能否被任意多项式整除？。零次多项式能否被任意多项式整除？2021/3/114分析分析：1。因。因h(x) Fx,均有均有 0=0h(x) 成立，成立，故故0|0有意义。有意义。2021/3/1152。对对00f(x)f(x)Fx,Fx, 不存在不存在

4、0 0 h(x)h(x)F(x),F(x),使使 0= 0=f(x)h(x)f(x)h(x)成立。成立。欲使欲使 0= 0=f(x)h(x)f(x)h(x)成立，成立，只有只有 h(x)=0h(x)=02021/3/1163。对对00f(x)f(x)Fx,Fx, 不存在不存在h(x) h(x) Fx,Fx,使使 f(x) f(x) = 0 = 0 h(x)h(x)成立。成立。2021/3/1174。对对f(x)f(x)Fx,Fx, 0 0 C C FF，均有均有 f(x)=C( f(x)f(x)=C( f(x) 2021/3/1185。对对 g(x)g(x)Fx,Fx,0 0 C C

5、F,F, 若存在若存在h(x) Fx,h(x) Fx,使使 C=g(x)h(x),C=g(x)h(x), 则则g(x)g(x)与与h(x)h(x)均为零多项均为零多项式。式。2021/3/119结论：1 1。零多项式能整除且仅能整除零多。零多项式能整除且仅能整除零多项式。项式。2 2。零多项式能被任意多项式整除。零多项式能被任意多项式整除（即零多项式有任意多高次的因式）（即零多项式有任意多高次的因式）。3 3。零次多项式只能被零次多项式整。零次多项式只能被零次多项式整除。除。4 4。零次多项式整除任一多项式。零次多项式整除任一多项式。2021/3/1110 多项式整除的基本性质多项式整除的基

7、，（2）得 f(x) +g(x)=h(x)(x) +(x) ) 即 h(x)|(f(x) +g(x).2021/3/1112注：此命题的逆命题不一定成立。例例1.令h(x)=x,g(x)=x -1,g(x)=x +1,有h(x)|(f(x) +g(x)，但h(x) f(x),h(x) g(x).2021/3/11133。如果h(x)|f(x),那么g(x) Fx,均有h(x)|f(x)g(x)证明：h(x)|f(x) (x) F(x),使 f(x)= h(x)(x)，得 f(x)g(x) =h(x)(x)g(x),即 h(x)|f(x)g(x)注：此命题逆命题不一定成立。2021/3/1114

8、例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2) ,f(x)=(x-3) .有h(x)|f(x)g(x),但h(x) g(x)且h(x) f(x).4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,，t),那么gi(x) Fx,(i=1,2,，t),有h(x)|(f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x) + + fi(x)gi(x) )5。每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，其中0 c F.证明：由f(x)= (cf(x),可得。2021/3/1115注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x),其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x

9、)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。2021/3/11166。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中0 c F.证明：由f(x)|g(x) (x) Fx,使 g(x)=f(x) (x) （1）由g(x)|f(x) (x) Fx,使 f(x)=g(x) (x) （2）由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，

10、（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)2021/3/1117则有：f(x)=cg(x).说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质判定两首项系数为1的多项式是否相等。2021/3/1118二二带余除法定理带余除法定理三三定理定理2.2.1.设设f(x)和和g(x)是是Fx的任意两的任意两个多项式，并且个多项式，并且g(x) 0,那么在那么在Fx中中可以找到多项式可以找到多项式g(x)和和r(x),使使四 f(x)=g(x)q(x)+r(x) （*）五五这里或者这里或者r(x)=0,或

11、者或者六六 (r(x) (g(x).七七满足以上条件的多项式满足以上条件的多项式q(x)和和r(x)只有一对，此时分别称为只有一对，此时分别称为f(x)除以除以g(x)的商式与余式。的商式与余式。2021/3/1119证明：先证定理的前一部分。若f(x)=0或（f(x)）m,令有 f1(x)=f(x)- b0-1 a0 xn-m g(x).2021/3/1120则f1(x)=0或（f1(x)）（f(x)）=n 若f1(x)=0则f(x)= a0xn-m g(x). 令q(x)= b0-1 a0xn-m,r(x)=0即可。若f1(x)=0，（f1(x)）（g(x)）,令2021/3/1

12、121F2 (x)= F1 (x)- b0-1 a10xn1-m g(x)其中b10是f1 (x)的首次系数。则f2 (x)=0或者（f2(x)）（ f2 (x) （ f3 (x) ）最后一定存在fk(x):fk(x)= fk-1(x)-b0-1 ak-1,0xnk-1-m g(x)而fk(x)=0或（ fk (x)）m,于是有等式：2021/3/1122f(x)-b0-1a0xn-mg(x)=f1(x),f1(x)-b0-1a10xn1-mg(x)=f2(x),fk-1(x)-b0-1ak-1,0xnk-1-mg(x)=fk(x),.相加得：f(x)=b0-1a0xn-m+b0-1a10x

13、n1-m+b0-1ak-1,0xnk-1-m令g(x)=b0-1a0xn-m+b0-1 a10xn1-m+b0-1 ak-1,0xnk-1-mr(x)=f(x).满足等式（*）且或者r(x)=0,或者（r(x)(g(x).下证唯一性。2021/3/1123假设存在假设存在使使 .(3)且且或者或者由（由（3），（），（*）得）得2021/3/1124 若是若是那么，那么，这时等式右边的次数将小于这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左的次数，而等式左边的次数将不小于边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。的次数，这是不可能的。因此必有：因此必有：因而因而即即2021/3/1125说明：1。若无r(x)=0或(r(x) (g(x)的限制，则使的限制，则使f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定不唯一，此时不能定义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一个义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一个多项式。多项式。例如：例如：令令令令2。若若b0=1，即，即g(x)的首项系数为的首项系数为1，则带余，则带余除法可在数环除法可在数环R的多项式环中进行。的多项式环中进行。2021/3/1126

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多项式的整除

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