《2022年清华大学一元微积分期中考题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年清华大学一元微积分期中考题答案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载一填空题 （每空 3 分，共 15 空） （请将答案直接填写在横线上！ ）1.答案：5ba2.。答案：21e3.。答案：214.已知0x时，xxaxxfsincos34)(为x的 5 阶无穷小量，则a。答案：315.220sin)1ln(limxxxxx。答案：236.nnn11sinlim。答案： 1 7.11211lim20xxxx。答案：218.1222533limxxxxxx。答案：31e9.2cos)(xexf，则)(xf。答案：2cos2sin2xexx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学
2、习必备欢迎下载10.)()2)(1()(nxxxxxf，则)0(f。答案：! n11.函数xxxxxf2)(23的不可导点的个数为。答案： 2 12.曲线12xxxy当x时的渐近线为。答案：212xy13.设xxfarctan)(，则)(xf。答案：22)1(2xx14.已知函数)(xyy由0xyeexy确定，则曲线)(xyy在0x点处的切线方程为。答案：0yx15.函数xxysin2的反函数的导数dydx。答案：xcos21二计算题 （每题 10 分，共 40 分）1.已知,arctan)1ln(2tytx求22,dxyddxdy。解：,21tdxdy5 分322241ttdxyd.5 分1
3、.写出函数2)(2xxxxf在00x处的带有Lagrange 余项的n阶泰勒公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载解：nkkkxxxxxx02211112226分1221) 1(1)2(2) 1(nnnnxxx，)1 ,0( .4 分.（注：只写出Peano余项，给2 分）2.根据n的奇数偶数不同情况分别讨论函数xnexxf)(（n为正整数）的增减性，求它在实数范围的最值并画出其图像。解：0)()(1xnexxnxf当1n时，驻点为1nx，) 1 ,(上单调增，),1 (单调降，最大值为1e，无最小
4、值；2 分当12kn为奇数时（k为正整数） ，驻点为nx与0x，),(n上单调增，),(n单调降，最大值为nnen，无最小值；2 分当kn2为偶数时 （k为正整数），驻点为nx与0x，)0,(上单调降，),0(n上单调增，),(n单调降，最小值为0。3分.图像 3 分，一个1 分2.设)(xf为),(上的连续可导函数，xxfxg)(，(I)求证：)(xg为),(上的可导函数；(II)计算)(xg。解： (I) 0),(0),()(22xxfxxfxxfxg因为)(xf为),(上的可导函数，当0x或0x时，)(xg为可导函数。当0x时，因为)(xf为),(上的连续可导函数，由罗比达法则，02)(
5、lim0)(lim)0()(lim20200xxfxfxfxgxgxxx，0)2()(lim0)(lim)0()(lim20200xxfxfxfxgxgxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载所以)(xg在0x点可导。 .5 分故)(xg为),(上的可导函数。(II)0),(20,00),(2)(22xxfxxxfxxg.5 分三证明题1.(8 分)设),0)(Cxf，0)0(f， 且当0x时，)(xf存在且单调增， 证明： 当0x时，xxf)(单调增。证明：设xxfxF)()(，则当0x时，22)
6、0()()()()()(xfxfxf xxxfxf xxF4 分xfxfxf xxf x)()()()(2其中),0(x。2 分由于)(xf单调增，故0)(xF，从而xxf)(单调增。 2 分2.(7 分)设函数)(xfy在),(内二阶可导，且其图像在),(内有三个点满足关系cbxaxy2，(I)证明必然存在一个点),(，使得af2)( ; (II)写出此命题的一个推广命题。证明： (I) 记)()()(2cbxaxxfxF，则)(xF在),(内二阶可导。由已知条件，设)(,wvuwvu为区间),(内的三个点，使得函数)(xfy与cbxaxy2得图像相交，即0)()()(wFvFuF，由微分中值定理可知，),(),(21wvvu0)()(21FF2 分),(),(21，02)()(afF，即af2)( 。.3 分(II) 任意一个有道理的推广命题2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
