《2022年清华大学一元微积分期中考题答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年清华大学一元微积分期中考题答案(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载一填空题 (每空 3 分,共 15 空) (请将答案直接填写在横线上! )1.答案:5ba2.。答案:21e3.。答案:214.已知0x时,xxaxxfsincos34)(为x的 5 阶无穷小量,则a。答案:315.220sin)1ln(limxxxxx。答案:236.nnn11sinlim。答案: 1 7.11211lim20xxxx。答案:218.1222533limxxxxxx。答案:31e9.2cos)(xexf,则)(xf。答案:2cos2sin2xexx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学
2、习必备欢迎下载10.)()2)(1()(nxxxxxf,则)0(f。答案:! n11.函数xxxxxf2)(23的不可导点的个数为。答案: 2 12.曲线12xxxy当x时的渐近线为。答案:212xy13.设xxfarctan)(,则)(xf。答案:22)1(2xx14.已知函数)(xyy由0xyeexy确定,则曲线)(xyy在0x点处的切线方程为。答案:0yx15.函数xxysin2的反函数的导数dydx。答案:xcos21二计算题 (每题 10 分,共 40 分)1.已知,arctan)1ln(2tytx求22,dxyddxdy。解:,21tdxdy5 分322241ttdxyd.5 分1
3、.写出函数2)(2xxxxf在00x处的带有Lagrange 余项的n阶泰勒公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载解:nkkkxxxxxx02211112226分1221) 1(1)2(2) 1(nnnnxxx,)1 ,0( .4 分.(注:只写出Peano余项,给2 分)2.根据n的奇数偶数不同情况分别讨论函数xnexxf)((n为正整数)的增减性,求它在实数范围的最值并画出其图像。解:0)()(1xnexxnxf当1n时,驻点为1nx,) 1 ,(上单调增,),1 (单调降,最大值为1e,无最小
4、值;2 分当12kn为奇数时(k为正整数) ,驻点为nx与0x,),(n上单调增,),(n单调降,最大值为nnen,无最小值;2 分当kn2为偶数时 (k为正整数),驻点为nx与0x,)0,(上单调降,),0(n上单调增,),(n单调降,最小值为0。3分.图像 3 分,一个1 分2.设)(xf为),(上的连续可导函数,xxfxg)(,(I)求证:)(xg为),(上的可导函数;(II)计算)(xg。解: (I) 0),(0),()(22xxfxxfxxfxg因为)(xf为),(上的可导函数,当0x或0x时,)(xg为可导函数。当0x时,因为)(xf为),(上的连续可导函数,由罗比达法则,02)(
5、lim0)(lim)0()(lim20200xxfxfxfxgxgxxx,0)2()(lim0)(lim)0()(lim20200xxfxfxfxgxgxxx,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载所以)(xg在0x点可导。 .5 分故)(xg为),(上的可导函数。(II)0),(20,00),(2)(22xxfxxxfxxg.5 分三证明题1.(8 分)设),0)(Cxf,0)0(f, 且当0x时,)(xf存在且单调增, 证明: 当0x时,xxf)(单调增。证明:设xxfxF)()(,则当0x时,22)
6、0()()()()()(xfxfxf xxxfxf xxF4 分xfxfxf xxf x)()()()(2其中),0(x。2 分由于)(xf单调增,故0)(xF,从而xxf)(单调增。 2 分2.(7 分)设函数)(xfy在),(内二阶可导,且其图像在),(内有三个点满足关系cbxaxy2,(I)证明必然存在一个点),(,使得af2)( ; (II)写出此命题的一个推广命题。证明: (I) 记)()()(2cbxaxxfxF,则)(xF在),(内二阶可导。由已知条件,设)(,wvuwvu为区间),(内的三个点,使得函数)(xfy与cbxaxy2得图像相交,即0)()()(wFvFuF,由微分中值定理可知,),(),(21wvvu0)()(21FF2 分),(),(21,02)()(afF,即af2)( 。.3 分(II) 任意一个有道理的推广命题2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页