《2022年中考数学压轴题函数等腰三角形问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年中考数学压轴题函数等腰三角形问题(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载第 1 页 共 6 页2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例 1 如图 1,已知正方形OABC的边长为 2,顶点 A、C分别在 x、y 轴的正半轴上, M是 BC的中点 P(0,m)是线段 OC上一动点( C点除外),直线PM 交 AB 的延长线于点D(1)求点 D 的坐标(用含m 的代数式表示);(2)当 APD是等腰三角形时,求m 的值;(3)设过 P、M、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E,过点 O作直线 ME 的垂线,垂足为 H(如图 2)当点 P 从 O 向 C运动时,点 H 也随之运动请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程)图 1 图 2 动感
2、体验请打开几何画板文件名“11 湖州 24”,拖动点P 在 OC上运动,可以体验到,APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“第(3)题”,拖动点 P 由 O 向 C运动,可以体验到, 点 H 在以 OM 为直径的圆上运动 双击按钮 “第(2)题”可以切换思路点拨1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长,为解等腰三角形做好准备2探求 APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习好资料欢迎下载第 2 页 共 6 页3 猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角
3、, 会不会找到不变的线段长呢?RtOHM的斜边长OM 是定值,以OM 为直径的圆过点H、C满分解答(1)因为 PC/ DB,所以1CPPMMCBDDMMB因此 PMDM,CPBD2m所以 AD4m于是得到点D 的坐标为 (2,4m)(2)在 APD中,22(4)ADm,224APm,222(2)44(2)PDPMm当 APAD 时,2(4)m24m解得32m(如图 3)当 PAPD 时,24m244(2)m解得43m(如图 4)或4m(不合题意,舍去)当 DADP 时,2(4)m244(2)m解得23m(如图 5)或2m(不合题意,舍去)综上所述,当 APD 为等腰三角形时,m 的值为32,4
4、3或23图 3 图 4 图 5 (3)点 H 所经过的路径长为54考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习好资料欢迎下载第 3 页 共 6 页第( 2)题解等腰三角形的问题,其中、用几何说理的方法,计算更简单:如图 3,当 APAD时, AM 垂直平分 PD,那么 PCM MBA所以12PCMBCMBA因此12PC,32m如图 4, 当 PAPD时, P在 AD的垂直平分线上 所以 DA2PO 因此 42mm 解得43m第( 2)题的思路是这样的:如图 6,在 RtOHM 中,斜边 OM 为定值,因此以OM 为
5、直径的 G经过点 H,也就是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P 与 O重合时,是点H 运动的起点, COH 45, CGH 90图 6 图 7 例 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习好资料欢迎下载第 4 页 共 6 页如图 1,已知一次函数y x7 与正比例函数43yx的图象交于点A,且与 x 轴交于点 B(1)求点 A 和点 B 的坐标;(2)过点 A 作 ACy 轴于点 C,过点 B 作直线 l/ y轴动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度, 沿 OCA 的路线向点A
6、 运动;同时直线l 从点 B 出发,以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时,点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中,设动点P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时,以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28 ”,拖动点 R 由 B 向 O 运动,从图像中可以看到, APR的面积有一个时刻等于8观察 APQ,可以体验到, P 在 OC上时,只存在APAQ的情况; P
7、 在 CA上时,有三个时刻,APQ是等腰三角形思路点拨1把图 1 复制若干个,在每一个图形中解决一个问题2求 APR的面积等于8,按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上,P 在 CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8 的可能3讨论等腰三角形APQ,按照点 P 的位置分两种情况讨论,点P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习好资料欢迎下载第 5 页 共 6 页(1)解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点 A 的坐标是 (3,4)令70yx,得7x所以点
8、B 的坐标是 (7,0)(2) 如图 2, 当 P 在 OC上运动时,0t4 由8A P RA C PP O RC O RASSSS梯形,得1113+7)44 (4)(7)8222tttt(整理,得28120tt解得 t2 或 t6(舍去)如图3,当 P 在 CA上运动时, APR的最大面积为6因此,当 t2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8图 2 图 3 图 4 我们先讨论P 在 OC上运动时的情形,0t4如图 1,在 AOB中, B45 , AOB45,OB7,4 2AB,所以 OBAB因此 OABAOB B如图 4,点 P 由 O向 C运动的过程中, OPBRRQ,所以 PQ
9、/ x 轴因此 AQP45保持不变, PAQ越来越大, 所以只存在 APQAQP的情况此时点 A 在 PQ的垂直平分线上,OR2CA6所以 BR1,t1我们再来讨论P 在 CA上运动时的情形,4t7在 APQ中,3cos5A为定值,7APt ,5520333AQOAOQOAORt如图 5,当 APAQ时,解方程520733tt,得418t如图 6,当 QPQA时,点 Q在 PA的垂直平分线上,AP2( OR OP)解方程72(7)(4)ttt,得5t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习好资料欢迎下载第 6 页 共 6 页如 7,当 PAPQ时,那么12cosAQAAP因此2cosAQAPA解方程52032(7)335tt,得22643t综上所述, t1 或418或 5 或22643时, APQ是等腰三角形图 5 图 6 图 7 考点伸展当 P 在 CA上, QPQA时,也可以用2cosAPAQA来求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页