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1、学习好资料欢迎下载第 1 页 共 6 页2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例 1 如图 1，已知正方形OABC的边长为 2，顶点 A、C分别在 x、y 轴的正半轴上， M是 BC的中点 P(0,m)是线段 OC上一动点（ C点除外），直线PM 交 AB 的延长线于点D（1）求点 D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当 APD是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E，过点 O作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2）当点 P 从 O 向 C运动时，点 H 也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）图 1 图 2 动感
2、体验请打开几何画板文件名“11 湖州 24”，拖动点P 在 OC上运动，可以体验到，APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“第(3)题”，拖动点 P 由 O 向 C运动，可以体验到， 点 H 在以 OM 为直径的圆上运动 双击按钮 “第(2)题”可以切换思路点拨1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求 APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载第 2 页 共 6 页3 猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角
3、， 会不会找到不变的线段长呢？RtOHM的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H、C满分解答（1）因为 PC/ DB，所以1CPPMMCBDDMMB因此 PMDM，CPBD2m所以 AD4m于是得到点D 的坐标为 (2，4m)（2）在 APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm当 APAD 时，2(4)m24m解得32m（如图 3）当 PAPD 时，24m244(2)m解得43m（如图 4）或4m（不合题意，舍去）当 DADP 时，2(4)m244(2)m解得23m（如图 5）或2m（不合题意，舍去）综上所述，当 APD 为等腰三角形时，m 的值为32，4
4、3或23图 3 图 4 图 5 （3）点 H 所经过的路径长为54考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载第 3 页 共 6 页第（ 2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图 3，当 APAD时， AM 垂直平分 PD，那么 PCM MBA所以12PCMBCMBA因此12PC，32m如图 4， 当 PAPD时， P在 AD的垂直平分线上 所以 DA2PO 因此 42mm 解得43m第（ 2）题的思路是这样的：如图 6，在 RtOHM 中，斜边 OM 为定值，因此以OM 为
5、直径的 G经过点 H，也就是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与 O重合时，是点H 运动的起点， COH 45， CGH 90图 6 图 7 例 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载第 4 页 共 6 页如图 1，已知一次函数y x7 与正比例函数43yx的图象交于点A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/ y轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度， 沿 OCA 的路线向点A
6、 运动；同时直线l 从点 B 出发，以相同速度向左平移， 在平移过程中， 直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28 ”，拖动点 R 由 B 向 O 运动，从图像中可以看到， APR的面积有一个时刻等于8观察 APQ，可以体验到， P 在 OC上时，只存在APAQ的情况； P
7、 在 CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求 APR的面积等于8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8 的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载第 5 页 共 6 页（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点 A 的坐标是 (3，4)令70yx，得7x所以点
8、B 的坐标是 (7，0)（2） 如图 2， 当 P 在 OC上运动时，0t4 由8A P RA C PP O RC O RASSSS梯形，得1113+7)44 (4)(7)8222tttt（整理，得28120tt解得 t2 或 t6（舍去）如图3，当 P 在 CA上运动时， APR的最大面积为6因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8图 2 图 3 图 4 我们先讨论P 在 OC上运动时的情形，0t4如图 1，在 AOB中， B45 ， AOB45，OB7，4 2AB，所以 OBAB因此 OABAOB B如图 4，点 P 由 O向 C运动的过程中， OPBRRQ，所以 PQ
9、/ x 轴因此 AQP45保持不变， PAQ越来越大， 所以只存在 APQAQP的情况此时点 A 在 PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以 BR1，t1我们再来讨论P 在 CA上运动时的情形，4t7在 APQ中，3cos5A为定值，7APt ，5520333AQOAOQOAORt如图 5，当 APAQ时，解方程520733tt，得418t如图 6，当 QPQA时，点 Q在 PA的垂直平分线上，AP2( OR OP)解方程72(7)(4)ttt，得5t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载第 6 页 共 6 页如 7，当 PAPQ时，那么12cosAQAAP因此2cosAQAPA解方程52032(7)335tt，得22643t综上所述， t1 或418或 5 或22643时， APQ是等腰三角形图 5 图 6 图 7 考点伸展当 P 在 CA上， QPQA时，也可以用2cosAPAQA来求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
