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1、名师精编优秀教案第 10 章定态问题的常用近似方法 10.0 引言 10.1 非简并定态微扰理论 10.2 简并微扰理论 10.3 变分法 10.0 引言(一)近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论,使用这些理论解决了一些简单问题。如:(1)一维无限深势阱问题;(2)线性谐振子问题;(3)势垒贯穿问题;(4)氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而,对于大量的实际物理问题,Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂的实际问题时,量子力学求问题近似解的方法(简称近似方法)就显得特别重要。(二
2、)近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解出发,来求较复杂问题的近似解。(三)近似解问题分为两类(1)体系Hamilton 量不是时间的显函数 定态问题1.定态微扰论;2.变分法。(2)体系Hamilton 量显含时间 状态之间的跃迁问题1.与时间t 有关的微扰理论;2.常微扰。 10.1 非简并定态微扰理论(一)微扰体系方程(二)态矢和能量的一级修正(三)能量的二阶修正(四)微扰理论适用条件(五)讨论(六)实例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页名师精编优秀教案(一)微扰体系方程微扰法不是量子力学所特有的方
3、法,在处理天体运行的天体物理学中,计算行星运行轨道时,就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例如, 地球受万有引力作用绕太阳转动,可是由于其它行星的影响,其轨道需要予以修正。在这种情况下,计算所使用的方法是:首先把太阳和地球作为二体系统,求出其轨道,然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。可精确求解的体系叫做未微扰体系,待求解的体系叫做微扰体系。假设体系Hamilton 量不显含时间,而且可分为两部分:HHH?00?H所描写的体系是可以精确求解的,其本征值)0(nE,本征矢)0(|n满足如下本征方程:)0()0()0(|?0nnnEH另一部分H?是很小的(很小的物理意义
4、将在下面讨论)可以看作加于0?H上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后Hamilton 量H的本征值和本征矢,即如何求解整个体系的Schrodinger 方程:nnnEH|?当0H时,)0(|nn, )0(nnEE;当0H时, 引入微扰, 使体系能级发生移动, 由nnEE)0(, 状态由nn|)0(。为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:WH?其中 是很小的实数,表征微扰程度的参量。为明确起见,我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为nE、n|,请注意与教材中对应因为nE、n|都与微扰有关,可以把它们看成是的函数而将其展开成的幂级数:)2(2)1()0()2(2)1()0(|nnnnn
5、nnnEEEE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页名师精编优秀教案其中)0(nE,)1(nE,)2(2nE,分别是能量的0 级近似, 能量的一级修正和二级修正等;而|)0(|n,)1(|n,)2(2|n,分别是状态矢量0 级近似,一级修正和二级修正等。代入 Schrodinger 方程得:)|)(|()|)(|?()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0nnnnnnnnnEEEWH乘开得:3)0()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0(1)0()0(03)1()2(02)0()1
6、(01)0(00|?|?|?nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEWHWHH根据等式两边同幂次的系数应该相等,可得到如下一系列方程式: )0()0()0(00|?:nnnEH)0()1()1()0()0()1(01|?:nnnnnnEEWH)0()2()1()1()2()0()1()2(02|?:nnnnnnnnEEEWH整理后得:)0()2()1()1()2()0(0)0()0(0| ?0| ?nnnnnnnnEEWEHEH( 0)n( 1 )n( 1 )n( 0)n0| EW| EH上面的第一式就是0H的本征方程, 第二、 三式分别是)1(|n和)2(|n|所满足的方程,由此可解得
7、能量和态矢的第一、二级修正。(二)态矢和能量的一级修正现在我们借助于未微扰体系的态矢|)0(|n和本征能量)0(nE来导出扰动后的态矢n|和能量nE的表达式。(1)能量一级修正)1(nE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页名师精编优秀教案根据力学量本征矢的完备性假定,0H的本征矢)0(|n是完备的,任何态矢量都可按其展开,)1(|n也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为:10111001k)(k)(knk)(n)(k)(k)(n|a|其中)(n)(k)(kn|a101。)0(|k)(, 2, 1k是一组完备基矢
8、。代回前面的第二式并计及第一式得:)0()1(1)0()1()0(0| |?nnkkknnEWaEH或写成)0()1(1)0()0()0()1(|nnkknkknEWEEa左乘|)0(n, 有)0()0()1()0()0()0()0()0()0()1(1|nmnnmkmnkknkEWEEa考虑到本征基矢的正交归一性:mnnmnkmknkknEWEEa)1(1)0()0()1(mnnmnnmmnEWEEa)1()0()0()1(考虑两种情况1.nm)0()0()1(|nnnnnWWE2.nm)0()0()0()0()0()0()1(|mnnmmnmnmnEEWEEWa可以给出波函数的展开系数准确
9、到一阶微扰的体系能量:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页名师精编优秀教案nnnnnnnnnnnnnnnHEHEWEWEEEE?|?|)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()1()0(其中)0()0(|?|?nnnnHH即能量的一级修正等于微扰Hamilton 量在0 级态矢中的平均值(2)态矢的一级修正)1(|n令)0()1(1)1(|kknkna为了求出体系态矢的一级修正,我们先利用扰动态矢n|的归一化条件证明上式展开系数中0)1(nna(可以取为0)证:基于n|的归一化条件并考虑上面的展开
10、式*1*1|*|1|1)1()1(21)1()1(2)0()0()1(1)0()0()1()1()1(2)0()1()1()0()0()0()1()0()1()0(nnnnkknknnkknnkknkknknnnnnnnnnnnnnnnaaaaaa各级波函数都可以是归一的。由于归一,所以0*)1()1(nnnnaa0,0*)1()1(nnnnaa0Re)1(nna)1(nna的实部为0。)1(nna是一个纯虚数,故可令iann)1(( 为实)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页名师精编优秀教案nkkknninkkk
11、nninkkknnnkkknnnnkkknnnnnkknknnaeaeaiaiaaa)0()1()0()0()1()0()0()1()0()0()1()0()0()0()1()0()1()0()0()1(1)0(|)1(|最后两步用到公式i1ei。(三)能量的二阶修正对)|(|)0()1()0(nkkknninae上式结果表明,展开式中,)0() 1(|nnna项的存在只不过是使整个态矢量n|增加了一个相因子,这是无关紧要的。所以我们可取 = 0,即0)1(nna。这样一来,nkkknknnnkkknnknnkkknnknnkkknnknnkkknnnEEHEEHEEWEEWa)0()0()0
12、()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()1()0(|?|与求态矢的一阶修正一样,将)2(|n按)0(|n展开:1)0()2(1)2()0()0()2(|kkknknkkna与)1(|n展开式一起代入关于2的第三式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页名师精编优秀教案1)0()2()0()1()1(1)0()2()0(0|?knnkknnkkknnEaEWaEH1)0()2()0()1()1(1)0()2()0()0(|knnkknnkk
13、knnkEaEWaEE左乘态矢|)0(m得)0()0()2(1)0()0()1()1(1)0()0()1(1)0()0()2()0()0(|nmnkkmknnkkmknkkmknnkEaEWaaEE利用正交归一性,有121110011200kmn)(nmk)(kn)(nk)(k)(m)(knkmk)(kn)(n)(kEaE|W|aaEE1)2()1()1()1()2()0()0(kmnnmnnmkknmnnmEaEWaaEE1. 当nm时1)2()1()1()1(0knmnnmkknEaEWankknknnkknknknnknkknknnknkknknnnnnkknnEEWEEWWWEEWWa
14、aWWaE)0()0(2)0()0(*)0()0()1(1)1()1()2(|利用了)0()0()1(knknknEEWa。在推导中使用了微扰矩阵的厄密性nkknknnkknWWWWW)0()0()0()0(*)0()0(*|2. 当nm时1)1()1()1()2()0()0(kmnnmkknmnnmaEWaaEE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 32 页名师精编优秀教案2)0()0()0()0()0()0()0()0()1(1)0()0()1()2(mnmnnnnkknmnmkknmnmnnnkmnmkknmnEEWWE
15、EEEWWEEaWEEWaa可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正nkknknnkknnknkknnknkknknnEEHEEHEEWEEWE)0()0(2)0()0(2)0()0()0()0(2)0()0()0()0(22)2(2|?|在计及二阶修正后,扰动体系能量本征值由下式给出:nkknknnnnnnnnEEHHEEEEE)0()0(2)0()2(2)1()0(|(四)微扰理论适用条件总结上述,在非简并情况下,受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出:nkkknknnnnkknknnnnnEEHEEHHEE)0()0()0()0()0()0(2)0(|欲使二式有意义,则要求二级数收敛。由
16、于不知道级数的一般项,无法判断级数的收敛性,我们只能要求级数已知项中,后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是:1)0()0(knknEEH,)0()0(knEE这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时,由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。上述微扰适用条件表明:(1))0()0(|nkknHH要小,即微扰矩阵元要小;(2))0()0(knEE要大,即能级间距要宽。例如:在库仑场中,体系能量(能级)与量子数2n成反比,即22422neZEn,., 3,2, 1n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
17、 8 页,共 32 页名师精编优秀教案由上式可见,当n 大时,能级间距变小,因此微扰理论不适用于计算高能级(n 大)的修正,而只适用于计算低能级(n 小)的修正。(五)讨论(1)在一阶近似下:)0()0()0()0(|kknknnknnEEH表明扰动态矢n|可以看成是未扰动态矢)0(|k的线性叠加。(2) 展开系数)0()0(knknEEH表明第 k 个未扰动态矢)0(|k对第 n 个扰动态矢n|的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔,所以能量最接近的态)0(|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。(3)由nnnnHEE)0(可知,扰动后体系能量是由扰动前第n 态能量)
18、0(nE加上微扰Hamilton 量H在未微扰态)0(|n中的平均值组成。该值可能是正或负,引起原来能级上移或下移。(4)对满足适用条件1)0()0(knknEEH,)0()0(knEE微扰的问题,通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正0nnH就需要求二级修正,态矢求到一级修正即可。(5)在推导微扰理论的过程中,我们引入了小量 ,令:WH只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger 方程能够按的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程,仅此而已。一旦得到了各阶方程后,就可不用再明显写出,把W理解为H即可,因此在以后讨论中,就不再明确写出这一小量。(六)实例例 1.一电荷为e 的线性谐振子
19、,受恒定弱电场 作用。电场沿x 正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数。解:( 1)电谐振子Hamilton 量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页名师精编优秀教案xexdxdH22212222?将 Hamilton 量分成HH0两部分,在弱电场下,上式最后一项很小,可看成微扰。exHxdxdH?2?22212220(2)写出H0 的本征值和本征函数)0(E, )0(n)(2/)0(22xHeNnxnn,!2 nNnn)(21)0(nEn,,2, 1 ,0n(3)计算)1(nE0?)0()*0()0()*0()1(d
20、xxedxHHEnnnnnnn上式积分等于0 ,是因为被积函数为奇函数所致。(4)计算能量二级修正欲计算能量二级修正,首先应计算knH矩阵元。dxxedxHHnknkkn)0()*0()0()*0(?利用线性谐振子本征函数的递推公式:212111nnnnnx212212121211,1,)0(1)*0()0(1)*0()0(1)0(1)*0(nknknknknnkknnnedxndxnedxnneH将上式代入能量二级修正公式,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页名师精编优秀教案)0(1)0()0(1)0(2)0(
21、)0(21.1,)0()0(2)2(12112)(| 212|nnnnknnknknkknknnknEEnEEneEEnneEEHE对谐振子有;)0(1)0(nnEE, )0(1)0(nnEE22222)2(221)(12112)(eenneEn)(2由此式可知 ,能级移动与n 无关 ,即与扰动前振子的状态无关. )0(1)0(13)0(1)0(1)0(1)0(1)0()0(1)0(1)0()0()0()0(1,1,)0()0()0()1(1211211212112212nnnnnnnnnnkknnknknkkknknnknnnenneEEnEEneEEnneEEH(5)讨论 - 电谐振子的精
22、确解实际上这个问题是可以精确求解的,只要我们将体系Hamilton 量作以下整理:22222222222222222222222222222221222221222122)(22122?exxddeexdxdeexexdxdxexdxdH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 32 页名师精编优秀教案其中2exx,可见,体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低2222e,而平衡点向右移动了2e距离。由于势场不再具有空间反射对称性,所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数n已变成
23、)0(n,)0(1n,)0(1n的叠加看出。121)0(1)0(13)0()1()0(nnnnnnnne例 2.设 Hamilton 量的矩阵形式为:2000301cccH(1)设 c1,应用微扰论求H 本征值到二级近似;(2)求 H 的精确本征值;(3)在怎样条件下,上面二结果一致。解:(1)c1,可取 0 级和微扰Hamilton 量分别为:2000300010H,cccH0000000H是对角矩阵,是Hamilton H0 在自身表象中的形式。所以能量的0 级近似为:1)0(1E,3)0(2E,2)0(3E由非简并微扰公式)0()0(2)2()1(|knknnknnnnEEHEHE得能量
24、一级修正:cHEHEHE33)1(322)1(211)1(100能量二级修正为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页名师精编优秀教案2)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(121|cEEHEEHEEHEnkkk2)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(221|cEEHEEHEEHEkknk0|)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHEnkkk准确到二级近似的能量本征值为:cEcEcE221321132221(2
25、)精确解:设 H 的本征值是E,由久期方程可解得:02000301EcEccE0)34)(2(22cEEEc解得:cEcEcE2121232221(3) 将准确解按c(1)展开:cEcccEcccE231211234812212248122121比较( 1)和( 2)之解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 32 页名师精编优秀教案cEcEcE221321132221,cEcEcE2121232221可知,微扰论二级近似结果与精确解展开式不计4c及以后高阶项的结果相同 10.2 简并微扰理论(一)简并微扰理论(二)实例(三)
26、讨论(一)简并微扰理论假设)0(nE是简并的,那末属于0H的本征值)0(nE有 k 个归一化本征函数: 1| n,2| n, ,nk|nn|为描述方便,我们将量子数n 对应的能级和k 重简并波函数分别写为)0(nE、n|,请注意与教材中的n|对应显然它们满足本征方程:0| ?)0(0nEHn,k, 3,2, 1共轭方程0? |)0(0nEHn,k,3,2, 1在用微扰论求解问题时,需要知道0 级近似波函数, 但我们不知道在k 个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0 级近似。 所以在简并情况下,首先要解决如何选0 级近似波函数的问题,然后才是求能量和波函数的各级修正。0 级近似波函数肯定应从这
27、k 个n|中挑选,而它应满足上节按幂次分类得到的方程:)0()1()1()0()0(| ?| ?nnnnEHEH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 32 页名师精编优秀教案根据这个条件, 我们选取 0级近似波函数)0(|n的最好方法是将其表示成k 个n|的线性组合,因为反正0 级近似波函数要在n|(k,3,2, 1)中挑选。nckn|1)0()0(|n已是正交归一化,系数c由一次幂方程定出nHcncEncEHEHkknknnn|?|?| ?11)1(1)1()1()0()0(左乘|n得:cHEHccEnHncnncEEHn
28、nkkknkknnn|?|? |)1(111)1(11)1()1()0()0((由0? |)0()0(nEHn)其中nHnH|?|。得:0)1(1cEHnk。上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零,即0)1(21)1(222112)1(11nkkkknnEHHHEHHHEH解此久期方程可得能量的一级修正)1(nE的 k 个根:)1(nE( =1,2,.,k),因为)1()0(nnnEEE所以若这k 个根都不相等,则一级微扰就可以将k 度简并完全消除; 若)1(nE有几个重根 ,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。精选学习
29、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 32 页名师精编优秀教案为了确定能量nE所对应的0级近似波函数, 可以把)1(nE之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,.,k) 系数,将该组系数代回展开式就能够得到相应的0 级近似波函数。为了能表示出c是对应与第个能量一级修正)1(nE的一组系数,我们在其上加上角标而改写成c。这样一来,线性方程组就改写成:0)1(1cEHnk,k,2, 1则对应)1(nE修正的 0 级近似波函数改写为:knnc1)0(|(二)实例例 1. 氢原子一级Stark 效应(1)Stark 效应氢原子在外电场作
30、用下产生谱线分裂现象称为Stark 效应。我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用,造成第n 个能级有2n度简并。但是当加入外电场后,由于势场对称性受到破坏,能级发生分裂,简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。(2)外电场下氢原子Hamilton 量HHH?0cos?2?2220rezereHreH取外电场沿z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多,例如 ,强电场 107伏/米,而原子内部电场 1011伏/米,二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。(3) H0 的本征值和本征函数),()()(,3 ,2 , 12224lmnlnlmn
31、YrRrnneE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 32 页名师精编优秀教案下面我们只讨论n=2 的情况,这时简并度n2=4。022488aeeEn,220ea属于该能级的4 个简并态是:iararaiararaararaararaeeYReeYReYReYRsin)()(sin)()(cos)()()2()(0000000000002/2/3181112112142/2/3181112121132/2/31241102121022/2/3124100202001其中,2|,4 ,3 ,2 , 1。即12142001200
32、1200124212121|(4)求H在各态中的矩阵元由简并微扰理论知,求解久期方程 ,须先计算出微扰Hamilton 量 H 在以上各态的矩阵元。001020211221100021202112|cos|?|cos|?|YYRrReHHYYRrReHH我们碰到角积分lmmlYY|cos|需要利用如下公式:mlmllmYllmlYllmlY, 122, 122)12)(12()32)(12() 1(cos于是mmllmmllmlmlmlmllmmlllmlllmlYYllmlYYllmlYY122122, 122, 122)12)(12()32)(12() 1(|)12)(12(|)32)(1
33、2() 1(|cos|欲使上式不为0,由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件:mmllll1101mmmlll精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 32 页名师精编优秀教案仅当1l,0m时,H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有12H,21H不等于 0。因为31|cos|0010YY所以0504004/004/404/004022/02/302/02/300212021123)52( ! 4)1(242)1(24)2()1(24)()21(31)2()21(3|300000aeaaedrreardrreaedrrear
34、aedrreararearaeRrReHHararararar这是微扰矩阵元的表达式(5)能量一级修正将H的矩阵元代入久期方程:0000000003003)1(2)1(2)1(200)1(2EEEaeaeE解得 4 个根:0033)1(24)1(230)1(220)1(21EEaeEaeE由此可见,在外场作用下,原来4 度简并的能级)0(2E在一级修正下,被分裂成3 条能级,简并部分消除。当跃迁发生时,原来的一条谱线就变成了3 条谱线。其频率一条与原来相同,另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
35、第 18 页,共 32 页名师精编优秀教案6)求0 级近似波函数分别将)1(2E的 4 个值代入方程组:kcEHkn, 2, 10)(1)1(得 四 元一次线性方程组00000000000300034)1(23)1(22)1(210201)1(2cEcEcEcaecaecE将0)1(21)1(23aeEE代入上面方程,得:04321cccc所以相应于能级0)0(23aeE的 0 级近似波函数是:212121020021)0(1将0)1(22)1(23aeEE代入上面方程,得:04321cccc所以相应于能级0)0(23aeE的 0 级近似波函数是:精选学习资料 - - - - - - - -
36、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 32 页名师精编优秀教案212121020021)0(2将0)1(24)1(23)1(2EEE,代入上面方程,得:的常数为不同时等于和004321cccc因此相应与0)0(2E的 0 级近似波函数可以按如下方式构成:121421134433)0(4)0(3)(cccc我们不妨仍取原来的0 级波函数(经常这样处理),即令:10014343ccorcc则121)0(4211)0(3。(7)讨论上述结果表明,若氢原子处于0 级近似态)0(1, )0(2, )0(3, )0(4,那末,氢原子就好象具有了大小为03ea的永久电偶极矩一般。对于
37、处在)0(1, )0(2态的氢原子,其电矩取向分别与电场方向平行和反平行;而对于处在)0(3, )0(4态的氢原子, 其电矩取向分别与电场方向垂直。例 2.有一粒子,其Hamilton 量的矩阵形式为:HHH0,其中2000200020H,0000000H,1求能级的一级近似和波函数的0 级近似。解:0H的本征值问题是三重简并的,这是一个简并微扰问题。(1)求本征能量由久期方程0)1(IEH得:00000)1()1()1(EEE022)1()1(EE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 32 页名师精编优秀教案解得:, 0)
38、1(E。记为:)1(1E,0)1(2E,)1(1E故能级一级近似:222)1(303)1(202)1(101EEEEEEEEE简并完全消除(2) 求解0 级近似波函数将)1(1E代入方程,得:00000321ccc0)()(31231ccccc0231ccc由归一化条件:1|c| 2c0cc0c2111*1*1取实解:21c1则1012101)(。将0)1(2E代入方程,得:00000000321ccc0013cc031cc由归一化条件:1|000*02222ccc取实解:1c2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 32 页
39、名师精编优秀教案则010)0(2。如法炮制,得10121)0(3(三)讨论(1)新0 级波函数的正交归一性1.正交性对处理 一次幂所带来的系数公式)1(01)1(cEHkn取复共厄0)(*1)1(*cEHkn由于H?的厄米性,有HnHnnHnnHnH|?|?|?|)(*01*)1(kncEH改记求和指标,)2(01*)1(kncEH由前知)1(01)1(cEHknkkcc11*)2()1 (kknkknccEHccEH11*)1(1*1)1(0上式合起来可写为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 32 页名师精编优秀教案01
40、*1)1()1(kknnccEE或01*)1()1(knnccEE对于)1()1(nnEE的根,)3(01*kcc对应于)1()0(nnnEEE和)1()0(nnnEEE的 0 级近似本征函数分别为:knknncnc1)0(1)0(|0|1*11*11*)0()0(kkkkknnccccnncc利用了 (3)式kcc1*0。上式表明,新0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性由于新0 级近似波函数应满足归一化条件,对于同一能量,即角标,则上式变为:)4(1|1*)0()0(knnccEq.(3)和 Eq.(4)合记之为:)5(1*kcc(2)可以证明在新0 级近似波函数)0(n为基矢的k 维子
41、空间中, H 从而H 的矩阵形式是对角化的。证:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 32 页名师精编优秀教案)1(1*)1(11)1(*11*11*11*)0()0(|?|?|nknkknkkkkkknnEccEcEcHccHccnHnccH第 23 步用到了( 1)式01)1(cEHkn。上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以H 在新 0 级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。证毕 因为 H0在自身表象中是对角化的,所以在新 0 级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时,上式给出如下关系式:)0()0()1(|?
42、|nnnHE也就是说, 能量一级修正是H 在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。求解简并微扰问题,从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵S,使 H 从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如:前面讲到的例2 100000002000200020HH应用简并微扰论解得的新0 级近似波函数是:1012101010121)0(3)0(2)0(1这是新0 级近似波函数在原简并波函数i,i = 1,2,3. 为基矢所张开的子空间中的矩阵表示,即iiic31)0(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
43、4 页,共 32 页名师精编优秀教案我们求解3 ,2 ,10)()1(31lcEHililii就是为了寻找一个么正变换S,使原来的H = H0+ H 在以i为基矢的表象中的表示变到)0(为基矢的表象中,从而使H 对角化。根据表象理论,若)0(在以i为基矢的表象中的形式由下式给出,1012101010121)0(3)0(2)0(1则由表象到)0(表象的么正变换矩阵为:2121212100100S其逆矩阵为21212121*100100SSSH 从表象到)0(表象由下式给出:00000002102101021021000000021021010210211SHSHS 10.3 变分法微扰法求解问题
44、的条件是体系的Hamilton 量 H 可分为两部分HHH?0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 32 页名师精编优秀教案其中 H0的本征值本征函数已知有精确解析解,而H 很小。如果上面条件不满足,微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法变分法。(一)能量的平均值(二) 与 E0的偏差和试探波函数的关系(三)如何选取试探波函数(四)变分方法(五)实例(一)能量的平均值设体系的Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为:.121020nnEEEE上式第二行是与本征值相应的本征函数,其中0E、0分别为基态能量和
45、基态波函数。为简单计,假定H 本征值是分立的,本征函数组成正交归一完备系,即mnnmnnnnnnnEH|,2, 1 ,01|?设是任一归一化的波函数,在此态中体系能量平均值:HHHE|?|,则必有0EE证:插入单位算符1|nnn,则000|?|?|EEEEHHHEnnnnnnnnnn即0EH。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 32 页名师精编优秀教案这个不等式表明,用任意波函数计算出的平均值 总是大于(或等于)体系基态的能量,而仅当该波函数等于体系基态波函数时,平均值 才等于基态能量。若未归一化,则0|?|EHH基于上述
46、基本原理,我们可以选取很多波函数: : ) 1(,)2(,)(k, 称为试探波函数,来计算kHHHH,21其中最小的一个就最接近基态能量E0,即021,EHHHMink如果选取的试探波函数越接近基态波函数,则H 的平均值就越接近基态能量E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题:(1)试探波函数与0之间的偏差和平均值 与 E0之间偏差的关系;(2)如何寻找试探波函数。(二) 与 E0的偏差和试探波函数的关系由上面分析可以看出,试探波函数越接近基态本征函数, 就越接近基态能量E0.那末,由于试探波函数选取上的偏差0会引起 -E0的多
47、大偏差呢?为了讨论这个问题,我们假定已归一化的试探波函数为:1|0其中是一常数,是任一波函数,满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式,通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 32 页名师精编优秀教案|?|?|?|?|?|?|?|020200*0000000*000EHEHEHEHEHEHEHEH(利用了nnnEH|?)可见,若是一小量,即波函数偏差|0是一阶小量,那末|?|020EHEH是二阶小量。这也就是说,是小量,与0很接近,则 与 E0更接
48、近。当且仅当0时,才有 = E0。结论 上述讨论表明,对本征函数附近的一个任意小的变化,本征能量是稳定的。因此,我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。(三)如何选取试探波函数试探波函数的好坏直接关系到计算结果,但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则,通常是根据物理上的知觉去猜测。(1)根据体系Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数;(2)试探波函数要满足问题的边界条件;(3)为了有选择的灵活性,试探波函数应包含一个或多个待调整的参数,这些参数称为变分参数;(4)若体系 Hamilton 量可分成两部分H=H0+ H1,而 H0的本征函数已知有解析解,则该
49、解析解可作为体系的试探波函数。例:一维简谐振子试探波函数一维简谐振子Hamilton 量:22222212?xdxdH其本征函数是:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 32 页名师精编优秀教案)()(2/22xHeNxnxnn下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I:试探波函数可写成:|0|)()(22xxxcx显然,这不是谐振子的本征函数,但是它是合理的。1.因为谐振子势是关于x = 0 点对称的,我们的试探波函数也是关于x = 0 点对称的;2.满足边界条件,即当|x| 时, 0 ;3.含有一个待定的参数。方法
50、 II: 亦可选取如下试探波函数:2)(xAexA 归一化常数,是变分参量。这个试探波函数比第一个好,因为1. )(x是光滑连续的函数;2.关于x = 0 点对称,满足边界条件,即当|x| 时, 0 ;3. )(x是高斯函数,高斯函数有很好的性质,可作解析积分,且有积分表可查。(四)变分方法有了试探波函数后,我们就可以计算 )()()(|?|)(|?|HHHHH能量平均值是变分参数的函数,欲使 取最小值,则要求:0)()(dHddHd上式就可定出试探波函数中的变分参量 取何值时 有最小值。(五)实例对一维简谐振子试探波函数,前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数,应用
51、变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 32 页名师精编优秀教案方法 I 使用第一种试探波函数:|0|)()(22xxxcx1.首先定归一化系数1*dx11516)(200)(00*52222202222cdxxcdxdxxcdxdx51615c。2.求能量平均值2222222221222222222122222214145)()()(2)(?*)(dxxxxcdxxxdxdxcdxHH3.变分求极值07125)(232dHd2352。代入上式得基态能量近似值为:5976. 0145
52、2351413524522H我们知道一维谐振子基态能量5.0210E,比较二式可以看出,近似结果还不太坏。方法 II 使用第二种试探波函数:1. 对第二种试探波函数定归一化系数:2)(xAex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 32 页名师精编优秀教案2|)(*)(12222AdxeAdxxxx2|2A。2.求能量平均值241221|2|221|212|?|?*)(2222222222222222222222222222AAdxexAdxeAdxexdxdeAdxeHeAdxHHxxxxxx带入2|2A,得122812)(
53、H3.变分求极值0812)(222dHd21,21代入上式得基态能量近似值为:2128121222H这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将21代入试探波函数,得:)()(02/4/122xeAexxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 32 页名师精编优秀教案正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果,是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性(Hamilton 量性质) 的分析, 构造出物理上合理的试探波函数。作业p309 10.1、10.3、10.6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 32 页