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1、重庆科技学院毕业设计（论文） 题 目 微分方程在数学建模中的应用 学 院 数理学院 专业班级 数学与应用数学12-2 学生姓名 学号 指导教师 杨懿 职称 评阅教师 杨懿 职称 2016年 5 月 10 日学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业设计
2、（论文）作者（签字）： 年 月 日中文摘要数学建模是数学在实际应用中的具体体现,微分方程是数学联系实际和应用于实际的重要桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具。建立数学模型就是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。数学建模是用数学语言来描述实际问题的过程。就是将实际问题的固有特征和内在规律用来建立起反映实际问题数量关系的数学表达式，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。 微分方程是表达事物发展过程的一种工具,它能揭示实际事物内在的动态关系,建立微分方程模型可以帮助我们做出相应的决策或者对未来发展进行某种预测。用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型微分方程模型。我们根
3、据实际问题所提供的条件，确定模型的变量，再根据物理、化学、生物、经济等学科理论，用微分方程的形式将问题的规律表示出来。微分方程模型在数学建模课程内占有很重要的地位。关键字：微分方程 数学建模 微分方程模型 ABSTRACTMathematical modeling is the concrete embodiment of mathematics in practical application. The differential equation is an important bridge between mathematics and practical application. It
4、is a powerful tool for scientific research in all disciplines. The establishment of mathematical model is to simplify and abstract the complex practical problem into a reasonable mathematical structure. Mathematical modeling is a process of describing the practical problems with mathematical languag
5、e. of the actual problem and the inherent law used to establish a mathematical expression to reflect the actual number of problems, and then use the theory and methods of mathematics to analyze and solve problems.Differential equation is a means of expression, as a tool for the development of things
6、。it can reveal the actual things within the dynamic relationship, establishing the differential equation model can help us to make the corresponding decision or for the future development of a prediction. The key to solving practical problems by using differential equations is to establish the mathe
7、matical model of practical problems - differential equation model. We determine the variables of the model according to the conditions provided by the practical problems, and then according to the theory of physics, chemistry, biology, economics and other disciplines, the law of the problem is expre
8、ssed in the form of differential equations. The differential equation model plays an important role in the course of mathematical modeling.Key words: differential equations, mathematical model, differential equation model目 录摘要3ABSTRACT4 引言.6二 微分方程的发展状况.6三 微分方程模型.7（1）微分方程建模的概述和常用方法.71微分方程建模的概述.72微分方程
9、建模的常用方法 7（2）应用微分方程模型时的注意事项.8四 实例分析.9（1）尸体冷却问题.91问题说明.92问题分析与符号说明.9（2）混合溶液的数学模型 101问题描述.102问题解答103溶液混合问题一般模型11（3）动力学模型.111问题描述.122问题解答.12（4）人口模型.121基础的人口模型.122问题描述和分析.153问题解答.15五 总结.20六 参考文献21七 致谢21 引言由于现代社会的飞速发展，数学正在不断的加深对我们现代生活的影响，“高技术本质就是数学技术”的观点正在被越来越多的人所接受。而数学模型和数学建模在其中起了极大的作用。数学模型是对现实世界中的某个特定问题
10、的内在规律的描述，我们可以根据其内在的规律和特点，做出假设并运用一些数学工具来得出该问题的数学结构。也就是描述问题的某种特征的数学表达式，即用数学式子来描述现实世界的某个问题的某一方面的规律。数学模型是一种抽象的模拟事物运转规律的方法，它主要用数学符号、数学公式、程序、图、表等来描述客观事物的本质属性与内在联系，它是对现实世界事物的运转规律而做的抽象简化的数学结构。我们将创建一个数学模型的全过程称为数学建模。而为了解决一个实际问题，建立数学模型是一种十分有效的方法。微分方程是一门有完整数学体系的数学学科，同时微分方程也是数学联系和应用于实际的重要桥梁，它还是各个学科进行各种研究的重要工具。微分
11、方程在科技、工程、生态、环境、人口、交通、医学、经济管理等各个领域中都有着广泛的应用,有大量的实际问题需要用微分方程来描述。例如人口的增长、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。本文先介绍数学模型和微分方程，然后再介绍如何建立微分方程模型，最后通过具体的实例来简单地介绍微分方程在数学建模中的应用。二 微分方程的发展状况如果一个方程含有未知函数的导数，如/=x、/=0.5都是微分方程。 一般来说凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。如果未知函数是一元函数，就叫常微分方程；
12、如果未知函数是多元函数，就叫做偏微分方程。有时微分方程也简称方程。20世纪以来，由于许多的边缘科学比如：电磁流体力学、化学流体力学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。而70年代之后随着数学向化学和生物学的渗透，人们发现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”人们发现微分方程的解有无穷。其中常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。而偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的“通解”。三 微分方程模型（1）微分方程建模的概述和常用方法1微分方程建模的概述微分方程建模是数学建模的一种重要方法，我们在解决许多现实生活中的问题时可以将其转化成求解微分方程的定解问题。而要把实际问题转化为求微分方程的定解问题，步骤如下：首先我们需要根据实际问题建立相应的数学模型微分方程（组）。其次我们开始求解和分析这个数学模型，得出微分方程的定解并且分析解的特征。再其次利用所得结果对解的形式和数值进行定性分析，解释实际问题
