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1、 函数的最值（值域）知识归纳一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有
2、f(x)M（f(x)M）。求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二、 确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数的集合；01231234则值域为1，2，3，42、函数的图像给出时，函数的值域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数的集合；3、函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R
3、，值域为R； 2、二次函数的定义域为R，3、反比例函数的定义域为x|x0，的值域为4、指数函数的值域为。5、对数函数的值域为R；6、分式函数的值域为。7、正弦函数,余弦函数的值域都是。8、正切函数,的值域为R。四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数值域的常用方法： 观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的
4、值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求最值，都要检查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：；等)例如：求下列函数的值域：;变式：（2）直接法：利用常见函数的值域来求，例如 ：下列函数中值域是（0，+ ）的是 （ ）A B. C. D. 解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为0, + ）,C的值域为0,1,D的值域为2, + ).答案：B（3）配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域：； 解析：通过配方可得 ；开口向上，所以当时，函数取最小值；当x时，在时，函数的最小值
5、为；最大值在x=3时取到，；故其值域为,13; 练习： 例：求函数的值域。解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出：。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：。变式1：求函数y=的值域.（答：（0,5）变式2：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；变式3： （1）求最值。（-动轴定区间）（2）求的最值（-定轴动区间）变式4：已知sinxsiny，则函数sinxcos2y的最大值为_；最小值为_。答案：。解析：（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易
6、的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数的值域。解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式1：求函数的值域. 解析：令 （t0），则，故；用配方法求的y的值域为。变式2：的值域为_（答：）； 变式3： 的值域为_（答：）；变式4：函数的值域为_（答： ，1）(提示：三角代换)变式5：求函数的值域（答：,8）(提示：令t=，)。变式6：已知是圆上的点，试求的值域。解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令则p)即故例：试求函数的值域。B解：题中出现而由此联想到
7、将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：（5）分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成(常数)的形式来求值域 例：求函数的值域。解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有 不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所故另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到y的值域。（6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例：求函数的值域。解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得 即反函数的定义域即是
8、原函数的值域。故函数的值域为：。变式1：函数y=的值域是（ ）A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1. 1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），则y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B变式2:求函数的值域变式3:求函数，及的值域（7）利用判别式法 针对分式型，尤其是分母中含有时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.
9、例：求函数的值域。解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即,细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。变式：的值域。 ；1,5注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了4
10、、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数的值域。原函数可化为 =(), 即 1+(),0,（8）三角有界法：运用三角函数有界性来求值域；转化为只含正弦、余弦的函数，如，可用表示出，再根据解不等式求出的取值范围.例：求函数，的值域（答： 、）；求函数的值域。 （9）基本不等式法：利用基本不等式，；求函数的值域时，应注意“一正、二定、三相等”.设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）。A B 4 C 2 D 解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。说明：利用
11、均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。反例：看起来可用均值不等式，其实不能（1）求函数的值域（2）求函数的最小值。原函数可化简为 令，则这是一“对勾”函数，其在上是减函数，在上为增函数，所以在上，函数的最小值是当时， ）（10）单调性法：首先确定函数的定义域，再确定函数的定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，最后求出函数的值域；常用到函数的单调性：增区间为，减区间为。或利用复合函数单调性判断：如： 函数在上单调递增，在上也单调递增。如果函数在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数在x=b处有最大值f(b)；如果函数在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单
12、调递增则函数在x=b处有最小值f(b)；例：函数的值域。解：易知定义域为，而在上均为增函数，当然也可用换元法变式：求，（答：）的值域为_（答： ）；函数f(x)=的值域（）函数的值域【】（11）数形结合：分析函数解析式表示的几何意义，根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 例：求函数的值域.解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: y变式1：已知点在圆上，求及的取
13、值范围（答：、）；变式2：求函数y =+ 的值域. 提示：此题可以看做到和两点的距离和。（答：变式3：求函数的最小值为_；变式4：求下列函数的值域：（1） ； （2）； （3）（4） x答案：；（12）导数法利用导数求闭区间上函数的最值的步骤是：求导，令导数等于0；确定极值点，求极值；比较端点的函数值与极值，确定最大值与最小值或值域.求函数，的最小值。（答：48）例题选讲例1、求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 解： 即函数的值域是 y| y2 解： 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）解：当x0，
14、=，当x0时，=值域是2，+)（此法也称为配方法）函数的图像为：值域是2，+)例2求下列函数的值域：（1）；解：（配方法），的值域为。改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）；解：求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）；解：（法一）反解法：由得，由此得原函数的值域为。（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）；解：（代数换元法）：设，则，代入得 t0 ，原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）；解：三角换元法：，设，则，原函数的值域为。（6）；解：数形结合法：，函数值域为。（7）；解：判别式法：恒成立，函数的定义域为。
