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1、泰兴市第三高级中学2013届高三第二学期期初调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分答案写在答卷纸上）1若全集，集合，则集合= 2已知复数，则“”是“为纯虚数”的_ 条件（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）3如图1,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为_ _.图14已知，若，则正数的值等于 5如图2所示的算法流程图中，若则的值等于 图26已知正六棱锥的底面边长为1，侧面积为3，则该棱锥的体积为 7 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，设，则满足的概率为 8已知函数
2、的图像关于直线对称，且为函数的一个零点，则的最小值为 9设圆：的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 10已知数列满足，则该数列的前10项的和为 11、已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 12、如图3都是由边长为1的正方体叠成的图形图3例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位依此规律，则第个图形的表面积是_个平方单位13如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为则的最大值是 14设是正实数，且，则的最小值是 二、解答题
3、（本大题共6小题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、(本题满分14分)已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值及取得最大值时的值16、(本题满分14分)如图，已知直四棱柱，底面为菱形，为线段的中点，为线段的中点 （）求证：平面；（）当的比值为多少时，平面，并说明理由17、(本题满分15分)一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治。经调研，该厂第一个月的污染度为，整治后前四个月的污染度如下表；月数1234污染度6031130污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
4、，其中表示月数，分别表示污染度（参考数据：）（）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？18(本题满分15分)已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点（）求圆的方程；（）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；（）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由19(本题满分16分)已知，其中是自然常数，（）当时, 研究的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）
5、在（）的条件下，求证： ；（）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由20(本题满分16分)设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是 和的等比中项（）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（）证明：；（）设集合，且，若存在，使对满足 的一切正整数，不等式恒成立，试问：这样的正整数共有多少个？ 泰兴市第三高级中学2013届高三第二学期期初调研考试数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请直接将答案填在题中的横线上）1、2、 充分不必要 3、 87 4、 5、 9 6、 7、 8、 2 9、 4 10、 77 11、 12
6、、 13、 14、 二、解答题（本大题共6小题，满分90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15解：（）设中角的对边分别为，则由， 2分可得， 4分 6分（）8分10分，当时， 12分有14分16（）证明：连接,由题意可知点为的中点因为点为的中点在中，分又面，分（）当时， 分四边形为菱形，且，四棱柱为直四棱柱，四边形为矩形又，四边形为正方形， 10分在直四棱柱中，四边形为菱形，又，13分,14分17（） 3分 6分由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理. 7分（）因在上是增函数，又因为 12分这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2012年5月起开始再次整治14分18.
7、解：（）由双曲线E：，得： ，2分又圆C过原点，所以圆C的方程为 4分（）由题意，设，代入，得，5分所以的斜率为，的方程为6分所以到的距离为， 7分直线FG被圆C截得的弦长为 9分()设P(s,t),G(x0,y0),则由，得整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 11分又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 代入，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 13分又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，14分解得：s= -12, t=0. 15分所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12
8、,0） 16分19解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分 的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令， 6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，在上单调递增 7分 9分在（1）的条件下，10分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，所以， 所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 12分 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 14分 当时，所以，所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 15分综上，存在实数，使得当时有最小值3 .16分20解：（）由已知，且 1分当时，解得 2分当时，有于是，即于是，即因为，所以故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且4分（）因为，则， 5分所以7分因为随着的增大而增大，所以当时取最小值故原不等式成立 10分（）由，得，所以 12分由题设，因为M，所以，均满足条件14分且这些数组成首项为，公差为的等差数列 设这个等差数列共有项，则，解得故集合M中满足条件的正整数共有450个 16分
