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1、精品资料数学精选教学资料精品资料第三章3.2第2课时一、选择题1动圆的圆心在抛物线y28x上,且动圆恒与直线x20相切,则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,2)答案B解析圆心到直线x20的距离等于到抛物线焦点的距离,定点为(2,0)2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AF|3,则AOB的面积为()ABCD2答案C解析本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用设AFx(00),焦点F,A(x0,y0),B(x0,y0),则x(2p9)x00.OABF,kOAkBF1.1,即1.x0p.把代入得p2.所求抛物线方程为y2
2、4x.二、填空题7下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽_米答案2解析本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力设抛物线方程为x22py,代入P(2,2)得2p2,x22y,当y3时,x26,x,则此时水面宽为2米,建立平面直角坐标系,将实际问题转化为数学问题8设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_答案解析由条件B(,1)代入y22px得12p,p22,p,B(,1),故d.三、解答题9抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,
3、试求抛物线方程解析如图所示,依题意设抛物线方程为y22px(p0),则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2x1x2p,即x1x2p8又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y得,x23px0,x1x23p.将其代入得p2,所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程为y22px(p0)时,同理可求得抛物线方程为y24x.10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A、B两点(1)求证:OAOB(2)当OAB的面积等于时,求k的值分析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用平面解析
4、几何的知识证kOAkOB1,从而证得OAOB(2)设直线AB和x轴的交点为N,利用SOAB|ON|y1y2|求k的值解析(1)证明:如图所示,由方程组消去x后,整理,得ky2yk0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得y1y21.A,B在抛物线y2x上,yx1,yx.yyx1x2.kOAkOB1,OAOB(2)设直线AB与x轴交于点N,显然k0.令y0,则x1,即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|,SOAB1.SOAB,.解得k.一、选择题1若抛物线x22y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()Aa
5、0B0a1Ca1Da0答案C解析设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2d2x2(ya)22y(ya)2y2(2a2)ya2y(a1)2(2a1)因为y0,),根据题意知,(1)当a10,即a1,y0时,da2.这时dmin|a|.(2)当a10,即a1时,ya1时d2取到最小值,不符合题意综上可知a1.2设抛物线y28x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|()A4B8C8D16答案B解析考查抛物线定义设A(2,y)F(2,0),KAF,y4,yp4,P在抛物线上,y8xp,xp6.由抛物线定义可得|PF|PA|xpxA6(2)8
6、,故选B3(2014新课标理)已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4,则|QF|()AB3CD2答案B解析本题考查抛物线的性质、向量的知识以及三角形的相似设抛物线的焦点坐标是F(2,0),过点Q作抛物线的准线的垂线垂足是A,则|QA|QF|,抛物线的准线与x轴的交点为G,因为4,则点Q是PF的三等分点,由于三角形QAP与三角形FGP相似,所以可得,所以|QA|QF|3.4设F为抛物线y24x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若0,则|等于()A9B6C4D3答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题知F(1,0)
7、,0,x1x2x33,抛物线的准线为x1,根据抛物线定义得,|x11x21x31336.二、填空题5已知抛物线C:y22px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若AM,则p_.答案2解析准线l为x,过点M(1,0)且斜率为的直线为y(x1)联立解得点A的坐标为(,(1)又,M点为AB的中点,B点坐标为(2,(1)将B(2,(1)代入y22px(p0),得3(1)22p(2),解得p2或p6(舍)6过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,若|AB|,|AF|0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),
8、B(x2,y2)(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数分析根据抛物线定义,可解出第一问,利用解析几何设而不求及两点斜率公式求第二问解析(1)当y时,x,又抛物线y22px的准线方程为x,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,由y2px1,y2px0,相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0),故kPA(x1x0)同理可得kPB(x2x0)由PA、PB倾斜率角互补知kPAkPB,即.y1y22y0,故2.设直线AB的斜率为kAB,由y2px2,y2px1,
9、相减得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB(x1x2)将y1y22y0(y00)代入得kAB,所以kAB是非零常数8(2013福建文,20)如图,抛物线E:y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M、N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2|AM|AN|,求圆C的半径解析(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d2,又|CO|.所以|MN|222.(2)设C(,y0),则圆C的方程为(x)2(yy0)2y,即x2xy22y0y0.由x1,得y22y0y10,设M(1,y1),N(1,y2),则由|AF|2|AM|AN|,得|y1y2|4,所以14,解得y0,此时0.所以圆心C的坐标为(,)或(,),从而|CO|2,|CO|,即圆C的半径为.【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版学习资料