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1、齐次化联立解决定点定值问题广东省英德中学(513000)陈国宗一、概述圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率.二、例题分析例1.已知A,B为抛物线x24y上异于原点O的两点，设k,k分别为直线OA,OB的斜OAOB率且k+k2.证明：直线AB的斜率为定值.OAOB解：设直线AB与抛物线的交点A(x,y)，B(x,y)1122设直线AB的方程为mx+ny=1.
2、,x2=4y由I联立得：x24y(mx+ny)即4ny2+4mxy-x2=0mx+ny=1+4m-1=0x又k+k2，即鼻+2-Im2即-m2OAOBxx4nn12m直线AB的斜率k-2.n点评：上述解法的巧妙之处在于将条件中k2；与k的关系转化为关于兰(视OAxOBxx12为整体)的一元二次方程的两根关系.将直线AB的方程设为mx+ny=1是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为y二次式，进而转化为关于的一元二次方程.x例2如图1所示，已知椭圆C:+1(ab0)的右焦点为F(：6,o),点A,B及点a2b2P(-2,1)都在椭圆C上，若直线PA与直线PB的倾斜角互补.(1) 求椭圆C的
3、标准方程；(2) 证明：直线AB的斜率为定值.41化简得a4-11a2+24=0+解：1)依题意a2b2解得a2=8或a2=3(舍去)b2=a2-c2=2x2y2故椭圆C的标准方程为w=1-82(2)分别平移x,y轴，建立以P(-2,1)为原点的直角坐标系XPy，如图2所示在直角坐标系xPy下：已知P(0,0)，设A(x,y),B(x,y)1122设直线AB方程为mx+ny=1易知椭圆C的方程为=1变形得：x2+4y24x+8y=0x2+4y2-4x+8y=0mx+ny=1联立得：x2+4y2-4x(mx+ny)+8y(mx+ny)=0化简变形得：(4+8n)厶丫+(8m-4n)y+1-4m=
4、0x即与+匚=0xx12:直线PA与直线PB的倾斜角互补，故kpA+kpB=08m-4nm1=0一一=一一4+8nn2.直线AB的斜率为k=-2易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线AB的斜率为定值-2.点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为y关于丄的一元二次方程的两根关系问题故我们称上述方法为平移齐次化.x2般地，设P(x0,y)(x00)为圆锥曲线C:f(x，y)=0上一点，由点P引倾斜角互补的两弦PA,PB，利用平移齐次化方法证明直线AB斜率为定值的基本步骤为: 平移坐标轴，建立以P（X,y）（x0）为原点的新平面直角坐标系xPy.000
5、在直角坐标系xPy下，求得圆锥曲线C的方程为f（x+x,y+y）二0,并将直线AB00方程设为mx+ny=1.2 联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于匚的一元二次方程两根关系问题.3解题过程中应注意到圆锥曲线C:f（x+x0，y+y）二0的常数项为o,以及直线平移前后斜率不变的一般规律.事实上，利用平移齐次化方法我们还可以得到一个更为的结论：设p（x,y）（x0）为有心000x2y2二次曲线（圆、椭圆、双曲线）一+二二1上一点，由点P引倾斜角互补的两弦PA,PB，mnnx则直线AB的斜率为定值一亠，证明留给读者.my0x2y2例3GO17全国I卷理科20题）已知椭圆C:a2,二2b，四点
6、J，1），P2（0，1），仆-1，P(1，24）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点若直线PA与直线PB的斜率的和为-1,222证明：1过定点.解：（1）因为P3（-1，弓),P(1，24）关于y轴对称，所以勺P4两点在椭圆C上=14b2故丄，4T=1又丄+b丄3a24b2a2b2a2P不在椭圆上，P2在椭圆上b2131、a24b2解得I故C的方程为扌+y2二1-（2）平移x轴，建立以P（0，1）为原点的直角坐标系xPy，如图3所示22在直角坐标系xPy下：已知P（0,0），设A（x，y），B（x，y）21122设直线AB方程为mx+ny，1易
7、知椭圆C的方程为+(y+=1变形得：x2+4y2+8y，0x2+4y2+8y,0mx+ny，1联立得：x2+4y2+8y(mx+ny)=0化简变形得：(4+8n)fMYIx丿+8m7+1，0又仏+仏，即十+令一-128m4+8n=一1即m，2n+12直线AB的方程为2n(x+y)+x-2=0，二直线AB过定点(2,-2)故在原坐标系xoy下直线AB过定点(2,一1).点评：利用平移齐次化方法证明定点问题时应注意平移前后定点坐标的关系.事实上，利用平移齐次化的方法我们还可以得到一个更为一般的结论：设P(x,y)为有心00x2y2二次曲线一+二，1上一点，若动弦AB相对点P张角为直角时，则弦AB所在的直线经me2xe2y过定点-一4,気，其中e有心二次曲线的离心率证明留给读者.12-e2e2-2丿三、结束语以上是本人对平移齐次化方法在定点定值问题中的一些见解，通过文中的几则实例，我们可以感受到该方法摒弃常规、独辟蹊径、解法高效这也启发我们学习数学应该要有敢于创新、勇于突破的精神，而非墨守成规、千篇一律.
