《2024年新高考数学一轮复习专题04 指对幂函数及函数与方程（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题04 指对幂函数及函数与方程（解析版）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题04 指对幂函数及函数与方程一、知识速览二、考点速览知识点1 根式与指数幂1、根式（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数（2）的次方根的表示当n是奇数时，的值仅有一个，记为当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在（3）根式的性质（，且）：；2、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂（2）指数幂的运
2、算性质 知识点2 指数函数及其性质1、指数函数的概念一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数2、指数函数的图象与性质图象图像特征在轴的上方，过定点当逐渐增大时，图象逐渐上升当逐渐增大时，图象逐渐下降性质定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数范围当时，；当时，；当时，；当时，；3、指数函数的常用技巧（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，底数与1的之间的大小关系为；规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。（3）指数函数与的图象
3、关于轴对称。知识点3 对数与对数运算1、对数的概念与性质（1）对数的概念：如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。（2）对数的性质对数式与指数式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)；loga10，logaa1，alogaNN， logaaNN (a0，且a1).指数式与对数式的关系2、对数的的运算法则如果a0，且a1，M0，N0loga(MN)logaMlogaN logalogaMlogaN logaMnnlogaM(nR)3、换底公式（1）logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)选用换
4、底公式时，一般选用e或10作为底数。（2）换底公式的三个重要结论(1)logab； (2)logambnlogab； (3)logablogbclogcdlogad.知识点4 对数函数及其性质1、对数函数的概念（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为（2）特殊的对数函数常用对数函数：以10为底的对数函数.自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.2、对数函数的图象与性质图象a10a1性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数3、对数函数图象的常用结论（
5、1）函数ylogax与y=log1ax的图象x轴对称；（2）对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大知识点5 幂函数及其性质1、幂函数的定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数（1）幂函数的特征：x的系数是1；x的底数x是自变量；x的指数为常数只有满足这三个条件，才是幂函数对于形如y(2x)，y2x5，yx6等的函数都不是幂函数（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx1，y=x12的图象(如图)2、幂函数的性质（1）所有的幂函
6、数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间0，)上单调递增；（3）如果0，那么幂函数的图象在区间(0，)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴2、二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数知识点6 函数零点与二分法1、函数零点
7、的定义（1）函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点（2）函数零点与方程实数解的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点【注意】函数的零点不是函数yf(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数2、函数零点存在定理（1）定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根（2）两个重要推论推论1：函数在区间上的
8、图象是一条连续不断的曲线，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、二分法（1）二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤确定零点的初始区间，验证求区间的中点计算，进一步确定零点所在的区间：若（此时），则就是函数的零点；若（此时），则令；若（此时），则令.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则
9、重复（2）（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；一、指对幂与对数式运算1、指数幂运算的一般原则（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。2、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的
10、真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。3、对数运算中的几个运算技巧（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，将值带入函数求解。【典例1】（2023全国高三专题练习）计算（1） .（2） .【答案】（1）；（2）2【解析
11、】（1） （2）=2【典例2】（2022秋河南南阳高三校考阶段练习）化简求值：（1）;（2）【答案】（1）；（2）1【解析】（1）原式= =.（2）原式=.【典例3】（2022秋陕西西安高三校考期中）计算（1）.（2）.【答案】（1）9；（2）5【解析】（1）；（2）.二、指数型复合函数的值域1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围2、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。【典例1】（2022秋陕西咸阳高三校考阶段练习）已知指数函数的图像经过点.（1）求的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（
12、2）【解析】（1）函数的图像经过点，得.（2）令，则，所以在上单调递增，故当时，当时，故当时，的值域为.【典例2】（2022秋宁夏高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知函数，（1）当，且时，求函数的值域；（2）若函数在的最小值为，求实数的值；【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，；令，则当时，在上单调递减，在上单调递增，的值域为.（2）令，则当时，对称轴为；当，即时，在上单调递增，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，解得：（舍）；综上所述：.三、对数型复合函数的值域1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再
13、求出的值域。2、形如（，且）的函数的值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。【典例1】（2022秋福建高三统考阶段练习）已知函数且.（1）当时，求的值域；（2）若在上的最大值大于，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得：，则的定义域为；当时，当时，（当且仅当时取等号），则的值域为.（2）；令，则在上单调递减，在上单调递增，又，的值域为；当时，解得：（舍）；当时，解得：；综上所述：实数的取值范围为.【典例2】（2022秋江苏淮安高三统考期中）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）当时， 求函数的值域【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，所以，即，解得，所以，解得，即；（2）由（1）得，当，所以函数可转化为，当时，取最小值为，当或时，取最大值为，即当时，取最小值为，当或时，取最大值为，即函数的值域为.四、指对幂比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比
