专题06 三角函数的概念与公式一、知识速览二、考点速览知识点1 任意角与弧度制1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝ rad；②1 rad＝°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r2知识点2 任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做α的正弦，记作sin α叫做α的余弦，记作cos α叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2、商数关系：＝tan α.3、基本关系式的几种变形（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．（2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.（3）sin α＝tan αcos α.4、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
知识点4 三角恒等变换公式1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)T(α＋β)tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．2、二倍角公式S2αsin 2α＝2sin α cos α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝T2αtan 2α＝3、辅助角公式一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .一、确定角终边所在象限的方法法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域典例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【解析】是第三象限的角，则，，所以，；当，，在第一象限；当，，在第三象限；当，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD【典例2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BD【解析】由已知得，，所以，，当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）若是第二象限角，则（ ）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可【解析】因为是第二象限角，所以可得．对于A，，则是第三象限角，所以A错误;对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．故选：BD．二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值典例1】（2023·上海·统考模拟预测）已知为角α终边上一点，则= ．【答案】/0.2【解析】为角α终边上一点，，则，，.【典例2】（2023秋·吉林长春·高三长春市第十七中学校考开学考试）如果角的终边在直线上，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为角的终边在直线上，所以.所以.故选：B.【典例3】（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）A． B．1 C．0 D．2【答案】BC【解析】由题设，故，整理得，所以或.故选：BC三、对sin α，cos α，tan α的知一求二问题1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解【典例1】（2023春·湖南永州·高三统考）已知，，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵且，∴，故选：B.【典例2】（2023·西藏拉萨·统考一模）已知，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，所以，所以，故选：D．【典例3】（2023秋·福建·高三厦门第二中学校考开学考试）若，,则 .【答案】【解析】因为，则，，又因为，则，且，解得或（舍去）,所以.故答案为：.四、已知tan α求sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．【典例1】（2023秋·江西·高三南昌外国语学校校考）若，则 .【答案】【解析】，.故答案为：.【典例2】（2023·江苏·南京市第一中学校考模拟预测）已知，则 ．【答案】/【解析】,故答案为：.【典例3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值是 ．【答案】5【解析】因为，所以，故答案为：5.五、sin α±cos α与sin αcos α关系的应用对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【典例1】（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】可得，..又 A为第四象限角， 又所以，.所以.答案：C.【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，且，则下列结果正确的是（ ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故A错误；因为，又，所以，所以，故B正确；，又，所以所以，故C错误；联立解得，所以，故D错误；故选：B.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知为第三象限角，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，两边平方得，即，又因为为第三象限角，且，所以，，所以，所以，则．故．故选：D．五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】.同理，，所以点P位于第一象限．故选：A．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则 ＝ .【答案。
