《2024年新高考数学一轮复习专题09 平面向量及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题09 平面向量及其应用（解析版）（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题09 平面向量及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1 向量的有关概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模2、零向量：长度为0的向量，记作.3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行5、相等向量：长度相等且方向相同的向量6、相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点2 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 交换律：；结合律：减法求与的相反向量的和的运算数乘求实数与向量的积的运算，当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当0时，；知识点3 向量共线定理与基本
2、定理1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.2、三点共线定理：平面内三点、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。3、平面向量基本定理（1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使（2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（3）对平面向量基本定理的理解基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的基底给定时，分解形式唯一是被唯一确定的数值是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，由于零向量与任何向量都是
3、共线的，因此零向量不能作为基底中的向量知识点4 平面向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作，则AOB就是向量与的夹角（2）范围：设是向量与的夹角，则0180.（3）共线与垂直：若0，则与同向；若180，则与反向；若90，则与垂直2、平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的（2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决
4、于角的范围3、向量数量积的性质设，是两个非零向量，是单位向量，是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：（1）.（2）.（3），同向；，反向.特别地或.（4）若为，的夹角，则.4、平面向量数量积的运算律（1） (交换律)（2） (结合律)（3） (分配律)【注意】对于实数a，b，c有，但对于向量，而言，不一定成立，即不满足向量结合律这是因为表示一个与c共线的向量，而表示一个与a共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立知识点5 平面向量的坐标运算1、向量的线性运算坐标表示（1）已知，则，结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2）若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这
5、个实数乘原来向量的相应坐标。2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是3、向量数量积的坐标表示已知非零向量，与的夹角为.结论几何表示坐标表示模夹角的充要条件与的关系一、解决向量概念问题的关键点1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能但向量的模是非负
6、实数，可以比较大小7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；考虑零向量是否也满足条件【典例1】（2023全国高三专题）设为单位向量，有下列命题：若为平面内的某个向量，则；若与平行，则；若与平行且，则其中假命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3故选：D【典例2】（2023秋福建厦门高三校考开学考试）下列命题不正确的是（ ）A零向量是唯一没有方向的向量B零向量的长度等于0C
7、若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D若，则【答案】A【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A【典例3】（2023全国高三专题）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形C的充要条件是且D已知，为实数，若，则与共线【答案】ACD【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相
8、等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线故选:ACD.二、平面向量共线定理的应用1、证明向量共线：若存在实数，使，则与非零向量共线；2、证明三点共线：若存在实数，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线；3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值【典例1】（2023全国高三专题）已知向量，不共线，且，则一定共线的是（ ）AA，B，D BA，B，
9、C CB，C，D DA，C，D【答案】A【解析】向量，不共线，且，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.故选：A【典例2】（2023全国高三专题）已知向量a与b不共线，则与共线的条件是（ ）A B C D【答案】D【解析】由，共线，得，即，所以.故选：D.【典例3】（2023全国高三专题）设与是两个不共线向量，且向量与共线，则 .【答案】【解析】依题意知向量与共线，设，则有，所以，解得，故答案为：三、平面向量基本定理
10、的实质及解题思路1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【典例1】（2023春重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段）在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，记，用表示为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题知，3得，故故选：D.【典例2】（2023秋河南焦作高三博爱县第一中学校考阶段）如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，（1）试用，表示、；（2）试用，表示【答案
11、】（1），；（2）.【解析】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，.（2）点E在BC上，且，则，于是，即，所以.【典例3】（2023湖南娄底高三联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，且点为线段的黄金分割点，则（ ）A BC D【答案】D【解析】由题意得，显然，同理有，所以，故，因为，所以.故选：D四、平面向量数量积的3种运算方法1、定义法求平面向量的数量积（1）方法依据：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解
12、，即（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。2、基底法求平面向量的数量积（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。3、坐标法求平面向量的数量积（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，则；（2）适用范围：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。【典例1】（2023四川宜宾校考三模）若四边形是边长为2的菱
13、形，分别为的中点，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为四边形是边长为2的菱形，所以.所以，故选：A【典例2】（2023陕西西安校联考模拟预测）在边长为2的正三角形ABC中，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题知，为中点，为中点，连接，以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，故故选：B【典例3】（2023全国高三专题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）A B3 C D5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.五、求向量模或其范围的常用方法1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解【典例1】（2023全国河南省实验中
