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1、2022-2023学年湖南省长沙市师大附中高新实验中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间10,40的频率为A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2参考答案：B由频率分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为.故选B.【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应
2、区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.2. 函数的定义域为（A） （B） （C） （D）参考答案：A略3. 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为 （ ） A B C D 参考答案：C4. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数（ ） A. B. C. D.参考答案：C略5. 下列四个判断，正确的是某校高二某两个班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；名工人某天生产同一零件，生产
3、的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）；已知服从正态分布,，且，则.（A） （B） （C） （D）参考答案：C6. 设，若，且，则的取值范围是（ ）A B C D参考答案：A7. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D15参考答案：C略8. 设的内角，所对的边分别为，若，则的形状为（ ）A锐角
4、三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定参考答案：B，为直角三角形，故选9. 函数在区间0，上的零点个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：B10. 设平面向量,若，则AB CD5参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知二次函数的值域为，则的最小值为 .参考答案：3试题分析：由题意得：.12. （几何证明选讲）如图，切圆于点,交圆于两点，且与直径交于点，若，则_ 参考答案：1513. 若向量,若,则的最小值为_.参考答案：略14. 如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为则关于的函数解析式
5、及定义域为 参考答案：，15. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为x参考答案：【考点】数列的应用【分析】第1关收税金： x；第2关收税金：（1）x=x；第3关收税金：（1）x=x；，可得第8关收税金【解答】解：第1关收税金： x；第2关收税金：（1）x=x；第3关收税金：（1）x=x；
6、，可得第8关收税金： x，即x故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 如图：已知，在边上，且，（为锐角），则的面积为_参考答案：在中，由余弦定理可得，得，在中，由正弦定理，解得，所以，在中，由正弦定理可得，解得，所以的面积为17. 已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于_参考答案：1928三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)0，求a的值参考答案：19. 已知点P是直线2xy+3=0上的一个动点
7、，定点M（1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程参考答案：【考点】轨迹方程【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程【解答】解：由题意知，M为PQ中点，设Q（x，y），则P为（2x，4y），代入2xy+3=0，得2xy+5=020. （本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析】（1）；（2）；（
8、3）解析：(1)连接，因为，所以,即,故椭圆的离心率为； 3分(2)由（1）知，得，的外接圆圆心为，半径，因为过三点的圆与直线相切， ，解得：，.所以所求椭圆方程为：. 7分（3）由（2）知，设直线的方程为：由 得：.因为直线过点，所以 恒成立.设，由韦达定理得： ，所以. 故中点为. 10分当时，为长轴，中点为原点，则； 11分当时，中垂线方程为.令，得.因为所以.13分综上可得实数的取值范围是. 14分【思路点拨】（1）连接，因为，所以,即,故可求椭圆的离心率；（2）由（1）的离心率能求出椭圆方程（3）设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，得，由此利用韦达定理结
9、合已知条件能求出实数m的取值范围21. (本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C侧面ABB1A1,AC=AA1=AB, AA1C1=60,ABAA1,H为棱CC1的中点,D在棱BB1上,且A1D平面AB1H.() 求证:D为BB1的中点；() 求二面角C1-A1D-A的余弦值.参考答案：向量法()连结,因为为正三角形,为棱的中点,所以,从而,又面面,面面,面,所以面.1分以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,2分不妨设,则,设,则,3分因为平面,平面,所以,所以,解得,即,所以为的中点.5分 (), 设平面的法向量为,则,即,解得, 令,得,9分 显然平面的一个
10、法向量为,10分 所以,所以二面角的余弦值为.12分传统法()设,由,所以,因为平面,平面,所以,从而,所以,所以,故,所以为的中点.5分()连结,由可得为正三角形,取中点,连结,则, 因为面面,面面,面,所以面.7分作于,连结,则,所以是二面角的平面角.9分经计算得,所以二面角的余弦值为.12分22. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3
11、的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这2人的累计得分X3的概率（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X
12、1的分布列和E（X1）；小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X2的分布列和E（X2），从而得到他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，因为P（X=0）=（1）（1）=，P（X=2）=（1）=，P（X=3）=（1）=，所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=，即这2人的累计得分X3的概率为（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，P（X1=0）=，P（X1=2）=，P（X1=4）=，X1的分布列如下：X1024PE（X1）=0+2+4=，小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，P（X2=0）=，P（X2=3）=，P（X2=6）=，X2的分布列如下：X2036P
