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1、湖南省长沙市第二十二中学高三数学文月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ）A6斤B9斤C9.5斤D12斤 参考答案：A由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，
2、第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重32=6斤.2. 若则下列不等式中不正确的是( )Aabb2 Babb2 参考答案：C略3. 已知直线l1：,l2：,若,则a的值为A0或2B0或一2C2D-2参考答案：B略4. 函数y=的图象大致为（）参考答案：C【考点】函数的图象【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】原函数化简为y=1+，即可得到对称中心为（e，1），于是可以判断C正确【解答】解：y=1+，函数y=的对称中心为（e，1），故选：C【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是求出对称中心，属于基础题5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E
3、，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则三角形面积最小值为（ ）A. B. 1C. D. 参考答案：C【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在的线段，计算即可【详解】分别取的中点H,Q,R，补全截面EFG为截面EFGHQR如图所示，设BRAC，直线D1P与平面EFG不存在公共点，D1P平面EFGHQR，易知平面ACD1平面EFGHQR，PAC，且当P与R重合时，BPBR最短，此时PBB1的面积最小，由等面积法：BRACBABC，得，即，又BB1平面ABCD，BB1BP，PBB1为直角三角形，PBB1的面积
4、为：.故选：C6. i是虚数单位，复数 A-34i B-3 +4i C34i D3+4i参考答案：7. 设集合A=1,2,3,4，B=0,1,2,4,5，全集U=AB，则集合中的元素共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个参考答案：A【分析】利用交集与并集定义先求与，再利用补集定义求.【详解】由题意得，所以故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A、B中的公共元素、所有元素、的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.8. 若 的夹角为 ，则 ( ) A. B. C. D. 参考答案：B略9. 设函数 ，则（ ）A1 B C D参考答案：D10. 如果，则有A. B. C. D.
5、参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列四种说法命题“0”的否定是“”；“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；“若，则”的逆命题为真；若ABA，CDC，则AB，CD正确的命题有_.（填序号）参考答案：1,212. 设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x02y0=2，求得m的取值范围是参考答案：（，）【考点】7C：简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（m，m）在直线x=2y+2的下方，故m2m2，从而解得【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（m，m）在直线x=2y+2的下方，故m2m2，解得，m
6、；故答案为：（，）13. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，+)上单调递增，则满足不等式f(1)f(lg(2x)的x的取值范围是 参考答案：14. 若|=2，|=，与的夹角为45，要使k与垂直，则k= .参考答案：215. 已知中，点、的坐标依次是、，边上的高为，则的坐标是 参考答案：（-1,2）设D（x，y），因=(-6，-3),ADBC,又(x-2，y+1)，-6（x-2）-3（ y+1）=0.还有与共线，（x-3）-2（y-2）=0.求得x=1，y=1所以=（-1,2）16. 若的面积为，则角为_。参考答案：略17. 为说明“已知，对于一切那么。”是假命题，试举一反例为 参
7、考答案：答案：如三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx.(1)求f的值； (2)求f(x)的最大值和最小值参考答案：19. （本小题满分13分）某港口的水深y(m)是时间t (0t24,单位：h)的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：t(h)0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长时间的观察，水深y与t的关系可以用拟合。
8、根据当天的数据，完成下面的问题： （1）求出当天的拟合函数的表达式； （2）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m。那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间。（忽略离港所需时间） （3）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5.该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？参考答案： 解：（1）根据数据，画出散点图，知A=3,h=10,T=12, (2)由题意，水深y4.5+7,即，或；所以，该船在1：00至5：
9、00或13：00至17：00能安全进港。若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.（3）设在时刻x船舶安全水深为y，则（），这时水深，若使船舶安全，则，即，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域。略20. 设f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为m（）求m；（）若a，b，c（0，+），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值参考答案：解：（）当x1时，f（x）=3+x2；当1x1时，f（x）=13x2；当x1时，f（x）=x34故当x=1时，f（x）取得最大值m=2（）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a
10、=b=c=时，等号成立此时，ab+bc取得最大值=1考点： 绝对值不等式的解法；基本不等式专题： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用分析： （）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值解答： 解：（）当x1时，f（x）=3+x2；当1x1时，f（x）=13x2；当x1时，f（x）=x34故当x=1时，f（x）取得最大值m=2（）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立此时，ab+bc取得最大值=1点评：
11、本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题21. （本小题满分14分）设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间t，t+3上的最大值.参考答案：(1) (2) 试题分析：（1）， （1分）令，解得 （2分）当x变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值故函数的单调递增区间为（-，-1），（a，+）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当， （5分）解得， 所以a的取值范围是（0，）. （6
12、分）（2）当a=1时，. 由（1）可知，函数的单调递增区间为（-，-1），（1，+）；单调递减区间为（-1，1）；. （7分）当t+3-1，即t2，即t-1时，由得在区间上的最大值为. 因为在区间（1，+）上单调递增，所以，故在上的最大值为. （13分）综上所述，当a=1时，在t，t+3上的最大值. （14分）考点：导数 最值 零点22. 已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，6）的距离之比均为（1）求曲线C的方程（2）设点P（1，2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值【解答】（1）解：曲线C上的任意一点为Q（x，y），由题意得（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，2）故可设PA：y+2=k（x1），（6分）由因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，所以故直线BC的斜率为定值（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题
