湖南省娄底市水车区大同乡大同中学高一数学文模拟试题含解析

湖南省娄底市水车区大同乡大同中学高一数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A．             B．              C．             D． 参考答案： B 2. 已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由表知函数y=f（x）﹣g（x）在下列区间内一定有零点的是（　　） x ﹣1 0 1 2 3 f（x） ﹣0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g（x） ﹣0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用． 【分析】分别计算x=﹣1，0，1，2，3时函数y的符号，结合零点存在定理，即可得到所求区间． 【解答】解：当x=﹣1时，f（﹣1）﹣g（﹣1）＜0； 当x=0时，f（0）﹣g（0）＜0； 当x=1时，f（1）﹣g（1）＞0； 当x=2时，f（2）﹣g（2）＞0； 当x=3时，f（3）﹣g（3）＞0， 且函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断， 由零点存在定理可得，函数y在（0，1）存在零点． 故选：B． 【点评】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题． 3. 若,则下列不等式成立的是（　　） A.    B.     C.  D. 参考答案： D 4. 设（a>0，a≠1），对于任意的正实数x，y都有（    ）    A.f(xy)=f(x)f(y)                        B.f(x+y)=f(x)f(y) C.f(xy)=f(x)+f(y)                       D.f(x+y)=f(x)+f(y) 参考答案： C 略 5. 下表中与数对应的值有且只有一个是错误的，则错误的是 x 3 5 6 8 9 12 27    A. B. C. D. 参考答案： C 6. 集合P=，M=，则                 A．｛１，２｝   B.｛０，１，２｝　Ｃ．｛︱0｝ D.{︱} 参考答案： B 7. 若定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为 A．2011         B．2012        C．4022         D．4024 参考答案： D 略 8. 已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是--- -------------(      )     A.           B.           C.   D. 参考答案： D 略 9. 函数的定义域是   (    ) A．       B．   C．        D．  参考答案： D 略 10. 若，则（   ） A．　　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　　　D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），则f(x)=      ． 参考答案： 【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3）， ∴3=9α ∴ ∴f（x）= 12. 圆的面积为                      ； 参考答案： 略 13. 下列语句正确的有     （写出所有正确的序号）. ① ②函数y＝f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b); ③若集合只有一个元素，则a＝1;     ④已知函数f(x)的定义域是(0,1)，则f(3x)定义域是(0,1). 参考答案： ?? 14. 已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若?=4，则+的最小值为　． 参考答案： 略 15. 给出下列命题：                                ①存在实数,使； ②存在实数，使； ③函数是偶函数； ④是函数的一条对称轴方程； ⑤若是第二象限的角，且，则； ⑥在锐角三角形ABC中，一定有；   其中正确命题的序号是 _     ____。 参考答案： ③④⑥ 略 16. 若函数y=x2＋2ax＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是____. 参考答案： 17. 圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心坐标为               ； 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知幂函数在定义域上递增。 （1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式； （2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 参考答案： 解:由题意得:，解得， 因为，所以k=0，或k=1， 当k=0时，， 当k=1时，， 综上所述，k的值为0或1，。 （2）函数， 由此要求，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：， 当时，， 因为在区间上的最大值为5， 所以，或 解得满足题意。 略 19. 已知函数的图象过原点，且关于点成中心对称.  (1)求函数的解析式；  (2)若数列满足：，求，，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论； 参考答案： 解析：(1)∵函数的图象过原点， ∴即，∴.       又函数的图象关于点成中心对称， ∴， . (2)解：由题意有  即，  即，即.  ∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.  ∴，即. ∴.   ∴ ，，，.  (3)证明：当时，    故 20. （10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）． （1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）； （2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=x2+的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x； （2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在． 【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）， 可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2， 则f（x）=x2+2x+1， 由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数； （2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数， 且f（x）为函数的一个承托函数． 即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立， 令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1， 即1﹣b=a+c， 又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0， 即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c； 又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立， 可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0， 即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立． 故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a， 可取a=c=，b=．满足题意． 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题． 21. 已知sinα=﹣，tan（α+β）=﹣3，π＜α＜，0＜β＜π． （Ⅰ）求tanβ； （Ⅱ）求2α+β的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]得值． （Ⅱ）先求得tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]的值，再根据2π+＜2α+β＜，求得2α+β得值． 【解答】解：（Ⅰ）因为π＜α＜，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==， ∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]= = =7． （Ⅱ）因为tan（α+β）=﹣3，tanα=，所以tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]= = =﹣1． 由（Ⅰ）知tanβ＞1，所以＜β＜． 又因为π＜α＜，所以2π+＜2α+β＜，所以2α+β=2π+=． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于中档题． 22. 如图，在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,D是AC中点，平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=2,M, N分别是AB, SB的中点. (1) 求证:AC⊥SB.   (2) 求三棱锥N-CMB的体积.   参考答案： (1) 因为SA=SC, AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,所以AC⊥平面SDB. 又SB?平面SDB,所以AC⊥SB. ------------ 6分 (2) 因为SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, SD?平面SAC,所以SD⊥平面ABC.又SD=2, N是SB的中点,所以,N到平面ABC的距离为,又S△MBC=×2×2=2. 所以 ---------- 12分