河北省承德市小东区中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

河北省承德市小东区中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是(       ) （A）        （B）      （C）       （D） 参考答案： D 2. 下列结论正确的是（  ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 参考答案： B 【分析】 利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解. 【详解】A. 若则是假命题，因为c=0时，显然不成立.所以该选项是错误的； B. 若则，因为函数f(x)=在R上是增函数，所以该选项是正确； C. 若则不一定成立，如a=1,b=-1，所以该选项是错误的； D. 若则不一定成立，如：a=2，b=-3，所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3. 已知命题P：?x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞） 参考答案： A 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】根据命题P是假命题得到命题￢P是真命题，然后建立条件即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵命题P是假命题， ∴命题￢P是真命题， 即?x∈R，x2+2ax+a＞0恒成立， 即△=4a2﹣4a＜0， 解得0＜a＜1， 故选：A． 4. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 参考答案： C 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】数形结合法． 【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半． 【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0）， 则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣ ∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点， 又∵AB⊥x轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵点P在准线上 ∴DP=（+||）=p=6 ∴S△ABP=（DP?AB）=×6×12=36 故选C． 【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法． 5. 已知双曲线的一条渐近线过点(2,－1)，则双曲线的离心率为（ ） A．         B．       C.          D． 参考答案： C 双曲线渐近线方程为，因为渐近线过点，所以 ，选C. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 6. .函数的单调递减区间是（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先求导数，再解不等式得结果. 【详解】，令，解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 设，则三者的大小关系是(    ) A． B． C． D． 参考答案： C 略 8. 用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x－8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=－4的值时，v4的值为（　　） A．－57          B．－845          C．220               D  .3392 参考答案： C 9. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为(   ) A.              B.            C.                D. 参考答案： D 10. 已知函数,,设不等式的解集是M,不等式的解集是N,则解集M与N的半系是     (    ) A.     B.     C.MD.N 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.    参考答案： 12. 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　   　． 参考答案： 5 【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案． 【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3． 又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2． 故5log2a3=5log22=5． 故选为：5． 【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． 13. 已知椭圆的右焦点为，过作斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是       . 参考答案： 略 14. 已知实数构成一个等比数列，为等比中项，则圆锥曲线的 离心率是        . 参考答案： 或 15. 已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则___. 参考答案： 【分析】 设复数z＝bi，把z代入中求出b和m的值，再计算． 【详解】由题意可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位， 由z是的复数根， 可得（bi）2﹣（2m-1）bi+＝0， 即（﹣b2+1+）﹣（2m-1）bi＝0， ∴ ， 解得，， ∴z＝i，z+m＝i ∴|z+m|＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查复数相等的概念和复数模长的计算，属于基础题． 16. 已知函数的图像如图所示，则      参考答案： 0 17. 若点A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点，分别为椭圆下顶点和右焦点，若直线的斜率为，直线AB与交于点,则椭圆的标准方程为______▲______. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有 （1）求、的通项公式. （2）若，的前项和为，求. 参考答案： 解：（1）当时，，令，解之得       所以的不动点是-1，3   （2）恒有两个不动点，所以， 即恒有两个相异实根，得恒成立。于是解得      所以a的取值范围为 略 19. 已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M． （I）求曲线M的方程； （Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（I）由题意，可得曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），从而可得求曲线M的方程； （Ⅱ）设与直线BC的方程，与椭圆方程联立，消x，利用韦达定理，结合=0，即可求直线BC的方程． 【解答】解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|， 所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点）， 所以a=2，c=1， 所以b=， 所以曲线M：（y≠0）为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0）， 设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2）， 与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0， 所以y1+y2=﹣，y1y2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2）， 所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2= 注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，﹣﹣﹣﹣﹣ 所以直线BC的方程或为所求．﹣﹣ 20. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点．，，． （Ⅰ）求证：平面． （Ⅱ）求证：平面． （Ⅲ）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由． 参考答案： 见解析 （Ⅰ）证明：连接交于点， 连接， 在中，，分别是，中点， ∴． 又∵平面， 平面， ∴平面． （Ⅱ）∵底面， 平面， ∴， 又∵为棱中点， ， ∴， ∵点， ∴平面， ∴， ∵为中点，， ∴， 又∵． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴平面． （Ⅲ）存在点，当时成立， 设中点为，连接，， ∵，分别为，中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵平面， ∴平面， 又∵平面． ∴平面平面． 21. （本小题14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若与均不重合，设直线的斜率分别为，求的值。 参考答案： 解：(1)由题意可得圆的方程为直线与圆相切，即又 即得 所以椭圆方程为  (2)设则 即 则 即 的值为 22. (本小题满分10分) 已知,且,求证:与中至少有一个小于2. 参考答案： (10分)解：用反证法.假设与都大于或等于2,即, ------4分 ,故可化为, 两式相加,得x+y≤2,           ----------------------------------------8分 与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.    --------------------10分 略