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湖北省荆州市马东中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数定义域为
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
3. .若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.
则函数g(x)=ax+b的大致图象是( )
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则B=( )
A.
45°或135°
B.
135°
C.
45°
D.
以上答案都不对
参考答案:
C
略
4. 函数的图象是( )
参考答案:
C
5. 己知平面向量满足,与的夹角为60°,则“”是 “”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
C
由得,,即,所以,所以,即“”是 “”的充要条件,选C.
6. 对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)( i=1,2,…,8),其回归直线方程是:,且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数a的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)﹣2,当x∈(0,2]时,f(x)=,若x∈(0,4]时,t2﹣≤f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.[1,2] B.[2,] C.[1,] D.[2,+∞)[来源:学|科|网Z|X|X|K]
参考答案:
C
【考点】分段函数的应用;函数恒成立问题.
【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由f(x+2)=2f(x)﹣2,求出x∈(2,3),以及x∈[3,4],的函数的解析式,分别求出(0,4]内的四段的最小值,注意运用二次函数的最值和函数的单调性,再由t2﹣≤f(x)恒成立即为由t2﹣≤f(x)min,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:当x∈(2,3),则x﹣2∈(0,1),
则f(x)=2f(x﹣2)﹣2=2(x﹣2)2﹣2(x﹣2)﹣2,即为
f(x)=2x2﹣10x+10,
当x∈[3,4],则x﹣2∈[1,2],
则f(x)=2f(x﹣2)﹣2=﹣2.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为﹣;
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为;
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为﹣;
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值,且为﹣1.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为﹣.
若x∈(0,4]时,t2﹣≤f(x)恒成立,
则有t2﹣≤﹣.
解得1≤t≤.
故选:C.
【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查分段函数的最小值,运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键.
8. 在中,,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
由题知,,设,由余弦定理,由双曲线的定义有,,,故选B
9. 在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】几何概型.
【专题】计算题.
【分析】本题考查的知识点是几何概型,我们要求出以线段AM为边作正方形,这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间,先求得对应线段AM的长,然后代入几何概型公式即可求解.
【解答】解析:正方形的面积介于36cm2与81cm2之间,
所以正方形的边长介于6cm到9cm之间.
线段AB的长度为12cm,则所求概率为=.
故选C.
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=求解.
10. 设变量,满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.[5,+∞) C.[0,6] D.[0,5]
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
参考答案:
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,代入体积计算公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,
底面面积S=4×8=32,
高h=4,
故体积V==,
故答案为:
12. 执行如右图所示的程序框图,若输入的的值为10,
则输出的 .
参考答案:
4
13. 展开式中,的系数为 (用数字作答).
参考答案:
的展开式的通项为,所以,,所以的系数为,.
14. 函数的定义域是_____________.
参考答案:
15. 已知函数,对任意的,都存在,使得则实数的取值范围是______________.
参考答案:
16. 在直角坐标系xOy中,双曲线()的离心率,其渐近线与圆 交x轴上方于A、B两点,有下列三个结论:
① ;
②存在最大值;
③ .
则正确结论的序号为_______.
参考答案:
①③
【分析】
根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围,再根据直线与圆的位置关系及弦长,即可得答案;
【详解】,,
对①,根据向量加法的平行四边形法则,结合,可得成立,故①正确;
对②,,由于,没有最大值,没有最大值,
故②错误;
对③,当时,,
,又,,
,故③正确;
故答案为:①③.
【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
17. (5分)对a,b∈R,记,函数的最大值为
参考答案:
1
考点: 函数零点的判定定理.
分析: 先去掉函数中的绝对值,然后表示出函数f(x)的解析式,最后求函数的最大值即可.
解答: 解:由题意知
=
∴当x<﹣2时,f(x)=x+1<﹣1
当﹣2≤x≤2时,﹣1≤f(x)≤1
当x>2时,f(x)=3﹣x<1
综上所述,函数f(x)的最大值为1
故答案为:1
点评: 本题主要考查函数函数最值问题.含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)(2014?嘉兴二模)已知a∈R,函数m(x)=x2,n(x)=aln(x+2).
(Ⅰ)令f(x)=,若函数f(x)的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB(O为坐标原点),且线段AB的中点在y轴上,求a的取值集合;
(Ⅱ)若函数g(x)=m(x)+n(x)存在两个极值点x1、x2,求g(x1)+g(x2)的取值范围.
参考答案:
【考点】: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;利用导数研究函数的极值.
【专题】: 综合题;导数的综合应用.
【分析】: (Ⅰ)不妨设A(t,aln(t+2)),B(﹣t,t2),利用OA⊥OB,再分离参数,即可求a的取值集合;
(Ⅱ)函数g(x)=m(x)+n(x)存在两个极值点x1、x2,g′(x)=0,即2x2+4x+a=0在(﹣2,+∞)上存在两个不等的实根,可得0<a<2,x1+x2=﹣2,x1x2=,表示出g(x1)+g(x2),确定其单调性,即可求g(x1)+g(x2)的取值范围.
解:(Ⅰ)由题意,不妨设A(t,aln(t+2)),B(﹣t,t2)(t>0)
∴OA⊥OB,
∴﹣t2+at2ln(t+2)=0,
∴a=,
∵ln(t+2)∈(ln2,+∞),
∴a的取值集合为(0,);
(Ⅱ)g(x)=m(x)+n(x)=x2+aln(x+2),
∴g′(x)=,
∵函数g(x)=m(x)+n(x)存在两个极值点x1、x2,
∴g′(x)=0,即2x2+4x+a=0在(﹣2,+∞)上存在两个不等的实根,
令p(x)=2x2+4x+a,
∴△=16﹣8a>0且p(﹣2)>0,
∴0<a<2,
∵x1+x2=﹣2,x1x2=,
∴g(x1)+g(x2)=x12+aln(x1+2)+x22+aln(x2+2)
=(x1+x2)2﹣2x1x2+aln[x1x2+2(x1+x2)+4]
=aln﹣a+4
令q(x)=xln﹣x+4,x∈(0,2),
∴q′(x)=ln<0,
∴q(x)在(0,2)上单调递减,
∴2<aln﹣a+4<4
∴g(x1)+g(x2)的取值范围是(2,4).
【点评】: 本题考查导数知识的运用,考查韦达定理,考查函数的单调性与极值,考查学生的计算能力,属于中档题.
19. 如图,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有4.5海里,并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以14海里/小时的速度航行,应沿什么方向,用多少小时能尽快追上乙船?
参考答案:
考点:解三角形的实际应用.
专题:应用题;解三角形.
分析:先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°.再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα,求出对应的时间,根据正弦定理,可得结论..
解答: 解:设用t小时,甲船能追上乙船,且在C处相遇.
在△ABC中,AC=14t,BC=10t,AB=4.5,
设∠ABC=α,∠BAC=β,∴α=180°﹣45°﹣15°=120°
根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα,
即,
128t2﹣60t﹣27=0,(4t﹣3)(32t+9)=0,解得t=,t=(舍)
∴AC=28×=,BC=20×=15
根据正弦定理,得,
又∵α=120°,∴β为锐角,β=arcsin,
又<<,∴arcsin<,
甲船沿南偏东﹣arcsin的方向,用小时可以追上乙船.
点评:本题主要考查解三角形的实际应用.解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号,用数学公式,定理,公理等知识来解.
20. 已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(1)求抛物线G的方程;
(2)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC|?|BD|为定值;
(3)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
参考答案:
(1)x2=4y;(2)详见解析;(3)2.
【分析】
(1)利用抛物线的焦半径公式求P;(2)设直线AB方y=kx
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