湖北省荆州市马东中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省荆州市马东中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数定义域为 A.           B.          C.       D. 参考答案： D 2. 直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的 A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件 C．充分必要条件                D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 3. .若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数． 则函数g（x）=ax+b的大致图象是（　　）                 7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（　　） 　 A． 45°或135° B． 135° C． 45° D． 以上答案都不对 参考答案： C 略 4. 函数的图象是（ ）   参考答案： C 5. 己知平面向量满足，与的夹角为60°,则“”是 “”的 (A)充分不必要条件              （B)必要不充分条件 (C)充要条件                    （D)既不充分也不必要条件 参考答案： C 由得，，即，所以，所以，即“”是 “”的充要条件，选C. 6. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是( ) A.      B.      C.      D. 参考答案： B 7. 定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是(     ) A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）[来源:学|科|网Z|X|X|K] 参考答案： C 【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1）， 则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为 f（x）=2x2﹣10x+10， 当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]， 则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2． 当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣； 当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为； 当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣； 当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1． 综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣． 若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立， 则有t2﹣≤﹣． 解得1≤t≤． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键． 8. 在中，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为   （A）  （B）    （C）     （D） 参考答案： B 由题知，，设，由余弦定理，由双曲线的定义有，，，故选B 9. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【专题】计算题． 【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要求出以线段AM为边作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，先求得对应线段AM的长，然后代入几何概型公式即可求解． 【解答】解析：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间， 所以正方形的边长介于6cm到9cm之间． 线段AB的长度为12cm，则所求概率为=． 故选C． 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解． 10. 设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（   ） A．[6,+∞)     B．[5,+∞)       C．[0,6]       D．[0,5] 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　 参考答案： 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 底面面积S=4×8=32， 高h=4， 故体积V==， 故答案为： 12. 执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10， 则输出的 . 参考答案： 4 13. 展开式中，的系数为        （用数字作答）． 参考答案： 的展开式的通项为，所以，，所以的系数为，. 14. 函数的定义域是_____________． 参考答案： 15.  已知函数，对任意的，都存在,使得则实数的取值范围是______________． 参考答案： 16. 在直角坐标系xOy中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交x轴上方于A、B两点，有下列三个结论： ① ； ②存在最大值； ③ ． 则正确结论的序号为_______. 参考答案： ①③ 【分析】 根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案； 【详解】，， 对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确； 对②，，由于，没有最大值，没有最大值， 故②错误； 对③，当时，， ，又，， ，故③正确； 故答案为：①③. 【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 17. （5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为　　 参考答案： 1 考点： 函数零点的判定定理． 分析： 先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可． 解答： 解：由题意知 = ∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1 当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1 当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1 综上所述，函数f（x）的最大值为1 故答案为：1 点评： 本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（2014?嘉兴二模）已知a∈R，函数m（x）=x2，n（x）=aln（x+2）． （Ⅰ）令f（x）=，若函数f（x）的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求a的取值集合； （Ⅱ）若函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2，求g（x1）+g（x2）的取值范围． 参考答案： 【考点】： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；利用导数研究函数的极值． 【专题】： 综合题；导数的综合应用． 【分析】： （Ⅰ）不妨设A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2），利用OA⊥OB，再分离参数，即可求a的取值集合； （Ⅱ）函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2，g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在两个不等的实根，可得0＜a＜2，x1+x2=﹣2，x1x2=，表示出g（x1）+g（x2），确定其单调性，即可求g（x1）+g（x2）的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2）（t＞0） ∴OA⊥OB， ∴﹣t2+at2ln（t+2）=0， ∴a=， ∵ln（t+2）∈（ln2，+∞）， ∴a的取值集合为（0，）； （Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x2+aln（x+2）， ∴g′（x）=， ∵函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2， ∴g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在两个不等的实根， 令p（x）=2x2+4x+a， ∴△=16﹣8a＞0且p（﹣2）＞0， ∴0＜a＜2， ∵x1+x2=﹣2，x1x2=， ∴g（x1）+g（x2）=x12+aln（x1+2）+x22+aln（x2+2） =（x1+x2）2﹣2x1x2+aln[x1x2+2（x1+x2）+4] =aln﹣a+4 令q（x）=xln﹣x+4，x∈（0，2）， ∴q′（x）=ln＜0， ∴q（x）在（0，2）上单调递减， ∴2＜aln﹣a+4＜4 ∴g（x1）+g（x2）的取值范围是（2，4）． 【点评】： 本题考查导数知识的运用，考查韦达定理，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题． 19. 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？ 参考答案： 考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；解三角形． 分析：先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．． 解答： 解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇． 在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5， 设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°                          根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα， 即， 128t2﹣60t﹣27=0，（4t﹣3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）             ∴AC=28×=，BC=20×=15                                                根据正弦定理，得， 又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin， 又＜＜，∴arcsin＜， 甲船沿南偏东﹣arcsin的方向，用小时可以追上乙船．                  点评：本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解． 20. 已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5． （1）求抛物线G的方程； （2）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|?|BD|为定值； （3）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值． 参考答案： （1）x2＝4y；（2）详见解析；（3）2. 【分析】 （1）利用抛物线的焦半径公式求P；（2）设直线AB方y＝kx