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河北省承德市宽城峪耳崖中学高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆x 2 + y 2 + 2 x + 4 y – 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于的点有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
参考答案:
C
2. 对于不重合的两个平面与,给定下列条件:
①存在平面,使得与都垂直于;
②存在平面,使得与都平行于;
③存在直线,直线,使得.
其中,可以判定与平行的条件有().
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
A
解:①项、存在平面,使得,都垂直于,则,不一定平行,利如正方体相邻的三个面,故①错误;
②项、若,,则由面面平行的性质可得,故②正确;
③项、若直线,,,与可能相交,故③错误.
故选.
7.定义在上的偶函数满足:对任意的,有.则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
4. 设(1+x+x2+x3)4=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a0=( )
A.256 B.0 C.﹣1 D.1
参考答案:
D
【考点】二项式定理的应用.
【专题】二项式定理.
【分析】利用赋值法,令x=0即可得到结论.
【解答】解:∵(1+x+x2+x3)4=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,
∴令x=0得1=a0,
即a0=1,
故选:D
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,利用赋值法是解决本题的关键.
5. 在△ABC中,若sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
参考答案:
D
考点:两角和与差的正弦函数.
专题:三角函数的求值.
分析:利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出.
解答: 解:∵sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),
∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB,
∴sinAcosB+cosAsinB=1,
∴sin(A+B)=1,
∴sinC=1.
∵C∈(0,π),
∴.
∴△ABC的形状一定是直角三角形.
故选:D.
点评:本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
7. 实数a=0.2,b=log0.2,c=的大小关系正确的是( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】4N:对数函数的图象与性质;49:指数函数的图象与性质;71:不等关系与不等式.
【分析】根据指数函数,对数函数和幂函数的性质分别判断a,b,c的大小,即可判断.
【解答】解:根据指数函数和对数函数的性质,知log0.2<0,0<0.2<1,,
即0<a<1,b<0,c>1,
∴b<a<c.
故选:C.
8. 下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3
参考答案:
A
【考点】29:充要条件.
【分析】利用不等式的性质得到a>b+1?a>b;反之,通过举反例判断出a>b推不出a>b+1;利用条件的定义判断出选项.
【解答】解:a>b+1?a>b;
反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,
故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.
故选:A.
9. 抛物线x2=4y的焦点坐标为( )
A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而写出焦点坐标.
【解答】解:∵抛物线x2 =4y 中,p=2, =1,焦点在y轴上,开口向上,∴焦点坐标为 (0,1 ),
故选 C.
10. 平面平面,点,,,,有,过,,确定的平面记为,则是( ).
A.直线 B.直线 C.直线 D.以上都不对
参考答案:
C
∵,
∴,,
又,
∴,
∴,,
又∵,,
∴,故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式|x-1|<1的解集是 ▲ .
参考答案:
略
12. 已知两直线l1:ax﹣y+2=0和l2:x+y﹣a=0的交点在第一象限,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a>2
【考点】两条直线的交点坐标.
【分析】联立方程组解出交点坐标,解不等式即可解决.
【解答】解:由直线l1:ax﹣y+2=0和l2:x+y﹣a=0,得x=,y=.
∵两直线l1:ax﹣y+2=0和l2:x+y﹣a=0的交点在第一象限,
∴>0,.>0,
解得:a>2.
故答案为a>2.
13. 已知圆与直线交于两点,点为轴上的动点,则的最小值为________________.
参考答案:
0
略
14. 设是椭圆的不垂直于对称轴的弦,为的中点,为坐标原点,则_ _。
参考答案:
略
15. 已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等
差数列,则△ABC的面积为________.
参考答案:
略
16. 若一个正三棱锥的高为5,底面边长为6,则这个正三棱锥的体积为 .
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 计算题.
分析: 先由求出底面面积,再由棱锥的体积,求出体积即可.
解答: 解:由于一个正三棱锥的底面边长为6,则=,
又由正三棱锥的高为5,则这个正三棱锥的体积为=15
故答案为.
点评: 本小题主要考查几何体的体积,属于基础题.
17. 过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 椭圆的两个焦点为,点在椭圆上,且,.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线过圆的圆心,交椭圆于两点,且关于点对称,求直线的方程.
参考答案:
(1)∵ ∴
在中,
∴ ∴
∴
(2)圆的方程为 ∴圆心
当的斜率不存在时,不符合题意
设
联立
消去,得
设,则 解得
∴直线的方程为
19. (12分) 某普通高中为了了解学生的视力状况,随机抽查了100名高二年级学生和 100名高三年级学生,对这些学生配戴眼镜的度数(简称:近视度数)进行统计,得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下:
近视度数
0–100
100–200
200–300
300–400
400以上
学生频数
30
40
20
10
0
将近视程度由低到高分为4个等级:当近视度数在0-100时,称为不近视,记作0;当近视度数在100-200时,称为轻度近视,记作1;当近视度数在200-400时,称为中度近视,记作2;当近视度数在400以上时,称为高度近视,记作3.
(Ⅰ)从该校任选1名高二学生,估计该生近视程度未达到中度及以上的概率;
(Ⅱ)设,从该校任选1名高三学生,估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率;
(Ⅲ)把频率近似地看成概率,用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.
参考答案:
(Ⅰ)设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件………………1分
则 ………………3分
(Ⅱ)设该生近视程度达到中度或中度以上为事件 ………………4分
则 ………………7分
法2:设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 ………………4分
∵,
∴,
∴, ………………6分
∴ ………………7分
(Ⅲ) ………………9分
………11分
∵, ∴,
∴. ………………12分
20. 已知等差数列{an}中,a3=9,a8=29.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式;
(2)记数列{}的前n项和为Tn,求Tn的值.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差,由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式.
(2)此利用裂项求和法能求出Tn的值
【解答】解:(1)∵等差数列{an}中,a3=9,a8=29,
∴,
解得a1=1,d=4,
∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3.
Sn=n+×4=2n2﹣n.
(2)由(1)得,
∴Tn=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=.
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
21. 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
参考答案:
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】(1)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,运用通项公式可得q=3,d=2,进而得到所求通项公式;
(2)求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.
【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,
{bn}是公比为q的等比数列,
由b2=3,b3=9,可得q==3,
bn=b2qn﹣2=3?3n﹣2=3n﹣1;
即有a1=b1=1,a14=b4=27,
则d==2,
则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,
则数列{cn}的前n项和为
(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=n?2n+
=n2+.
22. (14分)求函数的极值.
参考答案:
略
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