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河北省承德市八达营乡八达营中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数是( )
A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数
C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数
参考答案:
【知识点】函数的奇偶性和单调性;指数函数的性质 B3 B4 B6
【答案解析】B 解析:函数的定义域为,,所以函数为奇函数;函数是增函数,是减函数,所以是增函数,则也是增函数,
故选:B
【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数,而指数函数是增函数,是减函数,可以判断是增函数。
2. 设命题p:函数y=在定义域上为减函数;命题q:?a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,+=3,以下说法正确的是( )
A. p∨q为真 B. p∧q为真 C. p真q假 D. p,q均假
参考答案:
D
考点: 复合命题的真假.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据反比例函数的单调性知,它在定义域上没有单调性,所以命题p是假命题;根据a+b=1得b=1﹣a,带入,看能否解出a,经计算解不出a,所以命题q是假命题,即p,q均假,所以D是正确的.
解答: 解:函数y=在(﹣∞,0),(0,+∞)上是减函数,在定义域{x|x≠0}上不具有单调性,∴命题p是假命题;
由a+b=1得b=1﹣a,带入并整理得:3a2﹣3a+1=0,∴△=9﹣12<0,∴该方程无解,即不存在a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,,∴命题q是假命题;
∴p,q均价,∴p∨q为假,p∧q为假;
故选D.
点评: 考查反比例函数的单调性,定义域,一元二次方程的解和判别式△的关系.
3. 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=﹣15,a2+a5=﹣2,则公差d等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
B
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组,由此能求出公差.
【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=﹣15,a2+a5=﹣2,
∴,
解得a3=﹣2,d=4.
故选:B.
4. 已知函数,且,则x=
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
5. 设函数,将的图像向右平移个单位,使得到的图像关于原点对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为,,所以函数的零点所在的区间是。
7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD上一点,且,F为棱AA1的中点,且平面BEF与DD1交于点G,则B1G与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据平面平面,可知所求角为;假设正方体棱长为,求解出和,从而得到结果.
【详解】
因为平面平面
所以与平面所成角即与平面所成角
可知与平面所成角为.
设,则,
平面面且面,可知
则,即 ,
在中,
故与平面所成角的正切值为
本题正确选项:
【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题,关键是能够通过位置关系确定所成角,再利用直角三角形求得结果.
8. 是单位向量,“”是“的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
9. 表示不超过的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知
,,则函数的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
A
略
10. 设,则下列不等式成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果(m+4)﹣<(3﹣2m)﹣,则m的取值范围是 .
参考答案:
【考点】幂函数的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由(m+4)﹣<(3﹣2m)﹣,可得m+4>3﹣2m>0,解出即可得出.
【解答】解:∵(m+4)﹣<(3﹣2m)﹣,
∴m+4>3﹣2m>0,
解得.
故m的取值范围为:.
故答案为:.
【点评】本题考查了幂函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 已知sin2θ+sinθ=0,θ∈(,π),则tan2θ= .
参考答案:
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】由已知等式化简可得sinθ(2cosθ+1)=0,结合范围θ∈(,π),解得cosθ=﹣,利用同角三角函数基本关系式可求tanθ,利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值.
【解答】解:∵sin2θ+sinθ=0,
?2sinθcosθ+sinθ=0,
?sinθ(2cosθ+1)=0,
∵θ∈(,π),sinθ≠0,
∴2cosθ+1=0,解得:cosθ=﹣,
∴tanθ=﹣=﹣,
∴tan2θ==.
故答案为:.
13. 已知复数,则复数z的虚部为______.
参考答案:
【分析】
根据复数的除法运算,化简得,进而求得复数的虚部,得到答案.
【详解】由题意,复数,所以复数的虚部为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的概念的应用,其中解答中熟记复数的概念,熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14. 已知直角的两直角边的边长分别是方程的两根,且,斜边上有异于端点的两点且,设,则的取值范围是
参考答案:
由题可知,,建立如图所示的坐标系, 易得, ,设,
,则,,
所以
,由题到边的距离为定值,则的面积为定值.所以
,故.
15. 记函数的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是
参考答案:
由,即,得,根据几何概型的概率计算公式得的概率是.
16. 设实数x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,记m为的最小值,则y=sin(mx+)的最小正周期为 .
参考答案:
π
【考点】简单线性规划.
【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值,再利用正弦型函数的最小正周期,求出结果.
【解答】解:设x、y的线性约束条件,如图所示:
解得A(1,1)目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,
即:a+b=2,
所以: +=≥2,
则y=sin(2x+)的最小正周期为π,
故答案为:π.
【点评】本题考查的知识要点:线性规划问题,基本不等式的应用,正弦型函数的最小正周期,属于基础题型.
17. .若当时,函数与函数在同一点处取得相同的最小值,则函数在上的最大值是 ▲ .
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图1,圆O的半径为2,AB,CE均为该圆的直径,弦CD垂直平分半径OA,垂足为F,沿直径AB将半圆ACB所在平面折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图2)
(Ⅰ)求四棱锥C﹣FDEO的体积
(Ⅱ)如图2,在劣弧BC上是否存在一点P(异于B,C两点),使得PE∥平面CDO?若存在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)在图1中由平面几何知识求出梯形FDEO的面积,再由图2证得CF⊥平面ADE,并求出FE,然后代入棱锥的体积公式得答案;
(Ⅱ)取劣弧BC的中点,利用三角形中的边角关系证得四边形CDEP为平行四边形,再由线面平行的判定得答案.
【解答】解:(Ⅰ)如图1,∵弦CD垂直平分半径OA,半径为2,
∴CF=DF,OF=,
∴在Rt△COF中有∠COF=60°,CF=DF=,
∵CE为直径,∴DE⊥CD,
∴OF∥DE,DE=2OF=2,
∴,
图2中,平面ACB⊥平面ADE,平面ACB∩平面ADE=AB,
又CF⊥AB,CF?平面ACB,
∴CF⊥平面ADE,则CF是四棱锥C﹣FDEO的高,
∴.
(Ⅱ)在劣弧BC上是存在一点P(劣弧BC的中点),使得PE∥平面CDO.
证明:分别连接PE,CP,OP,
∵点P为劣弧BC弧的中点,∴,
∵∠COF=60°,∴∠COP=60°,则△COP为等边三角形,
∴CP∥AB,且,又∵DE∥AB且DE=,
∴CP∥DE且CP=DE,
∴四边形CDEP为平行四边形,
∴PE∥CD,
又PE?面CDO,CD?面CDO,
∴PE∥平面CDO.
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景,考查空间几何体的体积,考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识,考查空间想象能力,求解运算能力和推理论证能力,考查数形结合,化归与数学转化等思想方法,是中档题.
19. 某校高三年级在学期末进行的质量检测中,考生数学成绩情况如下表所示:
数学成绩
[90,105)
[105,120)
[120,135)
[135,150]
文科考生
57
40
24
6
理科考生
123
x
y
z
已知用分层抽样方法在不低于135分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析,其中文科考生抽取了1名.
(1)求z的值;
(2)如图是文科不低于135分的6名学生的数学成绩的茎叶图,计算这6名考生的数学成绩的方差;
(3)已知该校数学成绩不低于120分的文科理科考生人数之比为1:3,不低于105分的文科理科考生人数之比为2:5,求理科数学及格人数.
参考答案:
【考点】茎叶图;极差、方差与标准差.
【分析】(1)根据分层抽样各层抽取人数与总人数成比例,可得意,可得z.
(2)先计算出6名考生的数学成绩的平均数,进而代入方差公式,可得6名考生的数学成绩的方差;
(3)该校数学成绩不低于120分的文科理科考生人数之比为1:3,不低于105分的文科理科考生人数之比为2:5,可得,解解方程组可得x、y的值,
【解答】解:(1)依题意,∴z=24.
(2).
∴×[2+2+2+2+2+2=×[32+32+22+02+22+62]=.
(3)依题意,解得x=85,y=66,
∴理科数学及格人数为:123+85+66+24=298人.
20. (本小题满分12分)
已知数列满足的前n项和为,其中.
(I)试求的值并证明数列为等比数列;
(II)设求数列的前n项和.
参考答案:
(1)见解析;(2)
【知识点】数列递推式;数列的求和D1 D4
(1)证明:∵a1=,an+1=,
∴a2=2a1+2﹣2=1,a3=﹣a2﹣2=﹣3.bn+1=a2n+2=2a2n+1+2(2n+1)﹣2=2a2n+1+4n,
又a2n+1=﹣a2n﹣2n,∴bn+1=2(﹣a2n﹣2n)+4n=﹣2a2n=﹣2bn,
b1=a2=1,∴数列{bn}为等比数列,首项为1,公比为﹣2;
(2)由(I)可得:a2n+1=﹣a2n﹣2n,bn=a2n,
cn=bn+a2n+1=a2n+(﹣a2n﹣2n)=﹣2n.cn+1=﹣2(n+1).
∴==.
∴数列的前n项和=+…+
==.
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