湖南省湘潭市柱塘中学高一数学文期末试题含解析

湖南省湘潭市柱塘中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列对应是从A到B的映射的是（    ）高考资源网 A   A=R，B=｛x|x>0｝,;高考资源网 B   高考资源网 C   A=N,B=高考资源网 D   A=R,B= 参考答案： D 2. 函数的定义域为（      ） A．     B．     C．    D． 参考答案： C 3. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（    ） A．       B．0       C．5       D． 参考答案： C 4. 直线与连接，的线段相交，则的取值范围是（    ） （A）    （B）    （C）    （D） 参考答案： B 5. 正项等比数列{an}满足: ,则,的最小值是(     ) A．8         B．16       C.24        D．32 参考答案： D 6. 对于右图的几何图形，下列表示错误的是（   ） A．     B．      C．        D． 参考答案： A 略 7. 若数列{an}满足，，，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法错误的是（    ） A. Tn无最大值 B. an有最大值 C. D. 参考答案： A 【分析】 先求数列周期，再根据周期确定选项. 【详解】因为， 所以 因此数列为周期数列，，有最大值2，， 因为, 所以为周期数列，，有最大值4，, 综上选A. 8. 已知全集为，集合如图所示，则图中阴影部分可以表示为（    ）。       A、   B、    C、    D、 参考答案： A 9. 若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x﹣8y﹣11=0有公共点，则实数m的取值范围是（　　） 　 A． （﹣∞，1） B． （121，+∞） C． [1，121] D． （1，121） 参考答案： C 略 10. 在△ABC中，∠A=30°, ,b=4,满足条件的△ABC   (     ) A. 无解      B. 有解     C.有两解            D.不能确定 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列说法中正确的有________ ①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响； ②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。 参考答案： ③   12. 若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是　　． 参考答案： 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求f（25）的值． 【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数， ∴9α=，∴α=﹣，故 f（x）=，∴f（25）==， 故答案为：． 13. { a n }是等差数列，a 2 + a 4 + … + a 2 n = P，则该数列前2 n + 1项的和是           。 参考答案： 2 P + 14. 已知、均为锐角，，，则            。 参考答案： 略 15. 若等腰△ABC的周长为3，则△ABC的腰AB上的中线CD的长的最小值为          ．   参考答案： 设腰长为2a，则底边长为3-4a，从而， 故，当时取到最小值   16. 在等差数列中，若，，则的值为__________。 参考答案： -3  略 17. （5分）已知函数，若f（x）＜f（﹣1），则实数x的取值范围是       ． 参考答案： x＞﹣1 考点： 一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 计算题． 分析： 由已知，先计算出f（﹣1）=11，根据分段函数的意义，逐段求解，最后合并即可． 解答： f（﹣1）=11， 当x≤0时，由x2﹣4x+6＜11，得出x2﹣4x﹣5＜0，解得﹣1＜x＜5，所以﹣1＜x≤0① 当x＞0时，由﹣x+6＜11，得出x＞﹣5，所以x＞0② ①②两部分合并得出数x的取值范围是x＞﹣1 故答案为：x＞﹣1． 点评： 本题考查分段函数的知识，不等式求解．分段函数分段解，是解决分段函数问题的核心理念． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形的内接矩形，两点在圆弧上，是的平分线，连接，记，问：角为何值时矩形面积最大，并求最大面积. 参考答案： 解：设交于，交于，显然矩形 关于对称，而，均为， 的中点，在中， 即        …………4分 故：                             …………8分 故当即时，取得最大，此时 ……12分 略 19. 如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值． 【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t， 在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2?12?10tcos 120°， ∴t=2或t=﹣（舍去）， 故我艇追上走私船所需要的时间为2小时． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 20. 已知全集，求实数的值． 参考答案： 解：由题意，        …………………………6分          …………………………7分          ………………………9分  ．               ………………………12分 21. (本小题满分12分) 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明； （2）解不等式：； （3）若当时，对所有的恒成立，求实数的取值范围.   参考答案： （1）任取，且，则，ks5u           又为奇函数，           ，         由已知得        即.        在上单调递增.  （2）在上单调递增，            不等式的解集为  （3）在上单调递增，      在上， 问题转化为，即对恒成立，求的取值范围. 下面来求的取值范围. 设 1若，则，自然对恒成立. 2若，则为的一次函数，若对恒成立， 则必须，且，或. 的取值范围是或. 略 22. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB． （1）求角A的大小； （2）若a=1，求△ABC面积的最大值． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值． （2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA． 由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA， ∵0＜B＜π，sinB≠0． ∴sinA=cosA，即tanA=． ∵0＜A＜π， ∴A=． （2）∵由a=1，A=， ∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立， ∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．