2022-2023学年贵州省遵义市桐梓县二十三中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年贵州省遵义市桐梓县二十三中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为常数，点的坐标分别是，动点与连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线（去掉双曲线的两个顶点），则的值为 A．2                B．－2          C．3            D． 参考答案： A 略 2. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值． 【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大， ∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β ∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α 过D作DH⊥平面ABC，垂足为H， 设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC= ∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°， ∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75° 因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×= 过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角 ∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α 由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE= ∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于 故选：A 3. 在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．0＜x＜2 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形． 【分析】由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可． 【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点， 当A=90°时，圆与AB相切； 当A=45°时交于B点，也就是只有一解， ∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1， 由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x==2sinA， ∵2sinA∈（2，2）． ∴x的取值范围是（2，2）． 故选：A． 【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题． 4. 变量满足约束条件，则目标函数的最小值（    ） A    2         B   4          C   1         D  3 参考答案： D 5. 下列说法正确的是（    ）． A．梯形一定是平面图形 B．四边形一定是平面图形 C．四边形相等的四边形为菱形 D．两个相交平面有不在同一条直线上的三个交点 参考答案： A 选项，梯形上下底互相平行，两个平行线确定一个平面，四个顶点都在同一个平面内，所以梯形是平面图形，故正确； 选项，空间四边形不是平面图形，故错误； 选项，空间四边形四条边相等时不是菱形，故错误； 选项，若两个平面相交，则交点都在同一条直线上，故错误． 综上，故选． 6. 已知两点、，且是与的等差中项，则动点 的轨迹方程是(  ）                                                                   A．   B．     C．    D． 参考答案： C 略 7. 若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（  ） A. (－∞,4] B. [4,+∞) C. (－∞,－4) D. (－4,+∞) 参考答案： A 【分析】 由已知条件推导出，令利用导数性质求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围. 【详解】因为对恒成立， 所以，， 令， 则， 所以当时，，函数单调减， 当时，，函数单调增， 所以当时，， 所以实数的取值范围是， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目. 8. 已知等差数列满足，则有           （    ） A．   B． C． D． 参考答案： D 9. 曲线上切线平行于轴的点的坐标是………………（           ）   A.        B.        C.        D. 参考答案： D 10. 若直线的参数方程为，则直线的斜率为(    ).                             参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若圆x2+y2=4与圆x2+（y﹣3）2=r2 （r＞0）外切，则实数r的值为　　． 参考答案： 1 略 12. 设 ，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是               。                参考答案： 略 13.  已知椭圆的离心率，则的值为____▲____. 参考答案： 略 14. 已知函数（为实数）. （1）当时， 求的最小值； （2）若在上是单调函数，求的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ) 由题意可知：                      当时                            当时，     当时，    故.                                 ……4分 (Ⅱ) 由 ① 由题意可知时，,在时，符合要求    …….6分 ② 当时，令 故此时在上只能是单调递减  即 解得               …….8分 当时，在上只能是单调递增   即得        故                                                综上                                  …….10分 略 15. 一份共3道题的测试卷，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，若班级共有50名学生，则班级平均分为　   　． 参考答案： 2 【考点】众数、中位数、平均数． 【分析】根据题意，利用平均数的定义即可求出平均分． 【解答】解：根据题意，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占的比例分别为30%，50%，10%和10%， 所以班级平均分为3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2． 故答案为：2． 16. ．设　则　 等于        . 参考答案：   略 17. 若函数对任意的恒成立，则       。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图是测量数据的茎叶图： 规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时，该产品为优等品. （1）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望； （2）从甲厂的10年样品中有放回地逐个随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂所2件的概率. 参考答案： （1），分布列见解析（2） 试题分析：（1） 的所有可能取值为，由古典概型分别求概率，得到的分布列，再求期望即可；（2）抽取的优等品数甲厂比乙厂多两件包括两个基本事件： “抽取的优等品数甲厂 件，乙厂件”， “抽取的优等品数甲厂 件，乙厂件”,分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件的概率即可。 （1）由题意知，的值为0,1,2,3， ，，，， ∴的分布列为 0 1 2 3 ． （2）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为， 乙厂抽取的样本中有5件，优等品率为， 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件， 即“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”， “抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”， ， ， ∴抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率：． 点睛：离散型随机变量均值与方差的求解方法 数学期望与方差、标准差都是离散型随机变量中重要的数字特征，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定程度、集中与离散的程度．求解离散型随机变量的分布列、期望与方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值，然后根据概率类型选择公式，求解变量取某一个值的概率，列出分布列，最后根据期望与方差的定义或计算公式求解． 19. （本题12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示. （1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题卷上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ 参考答案： （1）由题可知，第2组的频数为 人,     第3组的频率为,      频率分布直方图如下:      （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:人,      第4组:人,      第5组:人,      所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. 20. 求由曲线，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形(如图)的面积. 参考答案： 解：如图， 由与直线x+y=3在点(1，2)相交, ……………2分 直线x+y=3与x轴交于点(3，0) ……………3分 所以,所求围成的图形的面积 ，其中f(x) ………6分 ……11分 所以,所求围成的图形的面积为10/3……………………12分 略 21. （本小题满分12分）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛浙江赛区在杭州宣布正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率； （Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望． （注：频率可以视为相应的概率） 参考答案： （Ⅰ）, ,∴,    ……………………… 2分 估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：   ……… 4分