广东省梅州市岩上中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省梅州市岩上中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是(　　)   A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 参考答案： D 略 2. 已知等比数列{an}中，公比，则a4=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知把a3a5a7=64转化为a4的方程求解． 【解答】解：在等比数列{an}中，由， 得，解得a4=8． 故选：D． 3. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（　　） A． B． C． D．   参考答案： D 考点: 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题:三角函数的图像与性质． 分析: 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可． 解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（）， 由=+kπ， 即+2kπ，k∈Z， ∴当k=0时，函数的对称轴为， 故选：D． 点评:本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．   4. 定义在R上的函数满足：，当 时，，则的值是（    ） A．      B.  0       C.   1        D.   2 参考答案： C 由题意得：，所以是以2为周期的周期函数，，选C 5. 已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则/(X)的取值范围是 A.       B.        C.          D. 参考答案： A 略 6. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(     ) A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21 参考答案： C 考点：二项式系数的性质． 专题：计算题． 分析：给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数． 解答： 解：令x=1得展开式的各项系数之和2n， ∴2n=128， 解得n=7． ∴展开式的通项为 ， 令， 解得r=6． 所以展开式中的系数是3C76=21． 故选C 点评：本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 7. 已知集合，集合，，那么集合 （A）            （B）           （C）        （D） 参考答案： A 考点：集合的运算 ，所以，故选A 8. 已知，，若，则           （    ）    A．                     B．       C．                        D． 参考答案： C 略 9. 函数在上的图象大致为 参考答案： C 略 10. 已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（　　） A．10° B．20° C．70° D．80° 参考答案： C 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可． 【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0， 点P在第一象限，OP的斜率 tanα===cot20°=tan70°， 由α为锐角，可知α为70°． 故选C． 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为       ； 参考答案： 12. 在中，，，，则         ． 参考答案： 13. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是DC的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和DB所成角的余弦值为          ． 参考答案： 取的中点为，连接，，延长到使，连接，，，则∥，所以为异面直线和所成角或它的补角. ∵ ∴，且 在中，根据余弦定理得. ∴ 同理可得， 又∵平面平面，平面 平面，平面 ∴平面 ∵平面 ∴ ∴，即 同理可得， 又∵ ∴在中， ∵两直线的夹角的取值范围为 ∴异面直线和所成角的余弦值为 故答案为.   14. 多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为　　cm2． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案． 【解答】解：如图所示， 由三视图可知： 该几何体为三棱锥P﹣ABC． 该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体， 由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2， 由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=cm3， 故答案为：． 15. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是       。 参考答案： 40 略 16. 一名大学生到一单位应聘，面试需回答三道题. 若每一道题能否被正确回答是相互独立的,且这名大学生能正确回答每一道题的概率都是, 则这名大学生在面试中正确回答的题目的个数的期望= ______________. 参考答案： 答案：2 17. 已知平面向量，的夹角为60°，，，则 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域． 参考答案： 【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由条件利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． （2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域． 【解答】解：函数=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx） =sin2x+sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）， 由， ∴函数图象的对称轴方程为． （2）∵，∴． ∵上单调递减，∴取得最大值2． 又f（﹣）=﹣＜f（）=1，故函数的最小值为﹣，故函数的值域为[﹣，2]． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，定义域和值域、最值，属于中档题． 19. 已知函数，且f（x）≥t恒成立． （1）求实数t的最大值； （2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集． 参考答案： 【考点】分段函数的应用． 【分析】（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论． （2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可． 【解答】解：（1）f（x）=+=（+）（sin2x+cos2x） =（5++）≥（5+2）=（5+2）=（5+4）=1， 当且仅当=，即时等号成立， 若f（x）≥t恒成立， ∴t≤1，即t的最大值为1． （2）由题，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则由|x+1|+|x﹣2|≥5得， 当x＜﹣1，得1﹣2x≥5得2x≤﹣4，即x≤﹣2，此时x≤﹣2， 当﹣1≤x≤2得3≥5，此时不等式不成立， 当x＞2时，得2x﹣1≥5，即x≥3， 综上x≤﹣2或x≥3， 不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 数列{an}中，a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）Sn为{an}的前n项和，bn=S2n﹣Sn，求bn的最小值． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出． （2）由（1）可得：bn=S2n﹣Sn=+…+．再利用数列的单调性即可得出． 【解答】解：（1）∵a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．∴=1， ∴数列是等差数列，公差为1，首项为1． ∴=1+（n﹣1）=n，可得an=． （2）由（1）可得：Sn=1++…+． ∴bn=S2n﹣Sn=+…+． ∴bn+1﹣bn=+…+++﹣（+…+） =+﹣=﹣＞0， ∴数列{bn}单调递增，∴bn的最小值为b1=． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.        (本小题满分12分）已知函数. (I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间； (II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合. 参考答案： （Ⅰ）∵， ∴曲线在点处的切线斜率为， 依题意，故，∴，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数 单调递减；所以函数的单调增区间为，减区间为；         …6分 （Ⅱ）若，因为此时对一切，都有，，所以，与题意矛盾，又，故，由，令，得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数 单调递减；所以在处取得最大值，故对，恒成立，当且仅当对，恒成立． 令，，. 则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以在处取得最小值，因此，当且仅当，即时，成立． 故的取值集合为．                                               …12分   略 22. 如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y． （1）试用解析式将y表示成x的函数； （2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值． 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围； （2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值． 【解答】解：（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=， 即有tan∠COF=，tan∠AOE=， 则tan（∠COF+∠AOE）==1， 即有y=，由y≤4，解得x≥， 则函数的解析式为y=，（≤x≤4）； （2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF =4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（