山西省晋中市开发区实验中学高三数学理期末试卷含解析

山西省晋中市开发区实验中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，4] B．（0，4] C．（﹣4，0] D．[4，+∞） 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集． 【解答】解：f（x）=﹣|x|≤0，∴f（x）的值域是（﹣∞，0]． 设g（x）的值域为A， ∵对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）， ∴（﹣∞，0]?A． 设y=ax2﹣4x+1的值域为B， 则（0，1]?B． 显然当a=0时，上式成立． 当a＞0时，△=16﹣4a≥0，解得0＜a≤4． 当a＜0时，ymax=≥1，即1﹣≥1恒成立． 综上，a≤4． 故选A． 2. 已知实数满足不等式组，则函数的最大值为 A．2 B．4 C．5 D．6 参考答案： D 作出可行域如下图，当直线过点C时，最大，由得，所以的最大值为6． 3. 已知定义在R上的函数f（x）=e﹣|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 参考答案： A 【考点】5B：分段函数的应用． 【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，由对数函数的性质比较可得log25＞|log0.53|＞0，结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣|x|，其定义域为R，且f（﹣x）=e﹣|﹣x|=e﹣|x|=f（x），则f（x）为偶函数， 又由函数f（x）=e﹣|x|=，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数， 而|log0.53|=log23， 又由log25＞log23＞0，即log25＞|log0.53|＞0， 又由函数f（x）在（0，+∞）上为减函数， 则有b＜a＜c； 故选：A． 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性． 4. 设满足约束条件：则的取值范围为_______． 参考答案： 画出可行域，求出目标函数的最大值和最小值，即可。 5. 已知i是虚数单位，则满足z﹣i=|1+2i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： A 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【解答】解：由z﹣i=|1+2i|得． 复数z在复平面上对应点（，1）所在的象限为第一象限． 故选：A． 6. 设，且=sinx+cosx，则（     ） A．0≤x≤π                          B．―≤x≤            C．≤x≤                         D． ―≤x≤―或≤x＜ 参考答案： B 7. 已知为互相垂直的单位向量，向量a，b，且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是(　　) A．       B．    C．     D． 参考答案： A 略 8. 若，则＝ A、1　　B、32　　C、－1　　D、－32 参考答案： B 9. 已知函数,若有,则的取值范围. A.         B.      C.         D. 参考答案： B 略 10. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为  (   ) 参考答案： 【知识点】双曲线及其几何性质H6 【答案解析】D  画出示意图：由双曲线得AF=， 由抛物线也可求得AF=p=2c， ∴两者相等得到2c= ，又c2=a2+b2．即可求得双曲线的离心率+1．故选D． 【思路点拨】根据题意:由双曲线得AF的值，由抛物线也可求得AF的值，两者相等得到关于双曲线的离心率的等式，即可求得双曲线的离心率． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在上为增函数，则实数a的取值范围为___________ 参考答案： 12. 已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是　　． 参考答案： 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： 本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离，得到本题结论． 解答： 解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为： ， ∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：． 故答案为：：． 点评： 本题考查了点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题． 13. 函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为　　，f（x）的最小值是　　． 参考答案： π, 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】化简可得f（x）=sin2x，由周期公式可得周期，由振幅的意义可得最小值． 【解答】解：化简可得f（x）=sinxcosx=sin2x， ∴函数的最小正周期T==π， 当sin2x=﹣1时，函数取最小值． 故答案为：π； 【点评】本题考查三角函数的周期性和最值，属基础题． 14. 下列四个命题： ①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1； ②命题“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”； ③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC； ④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件． 其中所有正确命题的序号为　　． 参考答案： ②③④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①函数f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值为，不正确； ②命题“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”，正确； ③∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∵y=sinx在（0，）上是增函数，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB 同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正确； ④a≤0，函数f（x）=|x2﹣ax|的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得≤0，∴a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确． 故答案为：②③④． 15. 在极坐标系中，已知直线把曲线 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是       ． 参考答案： 略 16. 已知，，且，则      ． 参考答案： －2 17. 设正项等比数列项积为的值为 参考答案： 【知识点】等比数列的性质．D3 3   解析：∵正项等比数列前项积为， ∴，∴．故答案为：3． 【思路点拨】由已知条件推导出，由此能求出的值． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ． （1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若，求此时管道的长度L； （3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数． （2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值． （3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论． 【解答】解：（1），， ． 由于，， 所以， 所以． 所以，． （2）当时， ， （米）． （3）， 设sinθ+cosθ=t， 则， 所以． 由于， 所以． 由于在上单调递减， 所以当即或时， L取得最大值米． 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 19. （本小题满分12分）某校高三年级学生名参加期末考试，从中随机抽出某班学生（该班共名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： 写出、的值； 该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在中选两位同学，来帮助成绩在中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率． 参考答案： 20. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点． （1）求证：//平面；       （2）求证：；   参考答案： 解析：（1）连接，已知、分别为、的中点． EF是三角形BD1D的中位线，\EF//BD1； 又，，\EF//面BD1C1 （2）连接、BC1，正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1ì面BCC1B1，所以D1C1^ B1C 在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C， D1C1 、BC1ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1 BD1ì面BC1D1，所以有B1C^ BD1， 在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．   21. 已知函数的定义域为R． （Ⅰ）求实数m的范围； （Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值． 参考答案： 【考点】基本不等式；函数的定义域及其求法． 【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出． （II）利用柯西不等式的性质即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6． （Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为． 22. （本小题满分12分） 已知函数在处的切线方程为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明：当，且 时，． 参考答案： (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析. 即当，且时，， 所以当，且时，．………………………………………………………………12分 考点：导数的几何意义及求导法则的运用,运用导数知识分析问题解决问题的能力． 【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式的证明问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类研究,最后达到了证明不等式的目的.