2022-2023学年河北省衡水市育才中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省衡水市育才中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（  ） A．         B．       C.          D． 参考答案： D 根据题意得到已知直径，可求得体积为，这个题目中 故答案为：D.   2. 函数的图象大致是         (          ) 参考答案： C 略 3. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是(    ) A．         B．       C.         D． 参考答案： D 如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故． 在中，， 由双曲线的定义可得 ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．   4. 定义在R上函数f(x)满足f(－x)= f(x)，且对任意的不相等的实数x1,x2∈[0,+∞)有成立，若关于x的不等式f(2mx－lnx－3)≥2f(3) －f(－2mx+lnx+3)在x∈[1,3]上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A．     B．     C.     D． 参考答案： B 5. 某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（     ） （A）     （B） （C）     （D） 参考答案： A 6. sin ()= A.          B.        C .        D. 参考答案： A 略 7. 已知抛物线：，为轴负半轴上的动点，，为抛物线的切线，，分别为切点，则的最小值为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 8. 在△ABC中，C=60°，，，则A=（   ） A. 15° B. 45° C. 75° D. 105° 参考答案： C 【分析】 由题意和正弦定理求出sinB，再由边角关系求出角B，则可求得A． 【详解】由题意得，，AC，， 由正弦定理得，，则sinB， 所以B＝或， 因为AB＞AC，所以C＞B，则B＝， 则A= 故选：C． 【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 9. 在直角梯形ABCD中，，，，则（    ） A．   B．   C．    D． 参考答案： B   考点：余弦定理. 10. 对于函数“函数的图象关于y轴对称”是“y=f(x)为奇函数”的   (A)充分不必要条件                   (B)必要不充分条件   (C)充要条件                         (D)既不充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  ＝                                  参考答案： 答案： 4  12. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是            . 参考答案： 略 13. 若等比数列的各项均为正数,且,则         . 参考答案： 试题分析：由等比数列的性质得，， 所以 . 考点：1.等比数列等而性质；2.对数的性质. 14. 数列{an}满足a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*，则a1=       ，an=       ． 参考答案： 12, 考点：数列递推式． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：条件可与a1+a2+…+an=Sn类比．在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，可解出a1=12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3 n+1， 解答： 解：在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，得a1=4，a1=12， 由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②， ①﹣②得，an=3，an=3 n+1， 所以an= 故答案为：12， 点评：本题考查数列的递推关系式，数列通项求解，考查逻辑推理．计算能力． 15. 已知函数，若，则实数a的取值范围是 。 参考答案： 略 16. 已知函数若，则       . 参考答案： 或 17. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________． 参考答案： 1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 现有清华、北大、上海交大三所大学的招生负责人各一人来我市宣讲2017年高考自主招生政策，我市四所重点中学必须且只能邀请其中一所大学的负责人，且邀请其中任何一所大学的负责人是等可能的． （Ⅰ）求恰有两所重点中学邀请了清华招生负责人的概率； （Ⅱ）设被邀请的大学招生负责人的个数为ξ，求ξ分布列与期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）设每所重点中学邀请负责人为一次实验这是4次独立重复实验，利用独立重复实验概率计算法则即可‘ （Ⅱ） ξ的所有可能值为1，2，3，求出相应的概率，写出分布列，求出期望． 【解答】解：（Ⅰ）设每所重点中学邀请负责人为一次实验这是4次独立重复实验，记“邀请清华负责人”为事件A则从而设 恰有“两所重点中学邀请清华负责人”为事件B 则… （另解：） （Ⅱ）     ξ 1 2 3 P 则… 19. 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值． 参考答案： （Ⅰ）由已知可得：解得：；                 …………3分 所以椭圆C的方程为：．                             …………4分 （Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，． …………5分 设，则，即． 则直线BM的方程为：，令，得；      …………7分 同理：直线AM的方程为：，令，得． …………9分 所以 ． 即四边形ABCD的面积为定值2．                               …………12分 20. 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下： 组号 分组 频数 频率 第一组 [160，165） 5 0.050 第二组 [165，170） a 0.350 第三组 [170，175） 30 b 第四组 [175，180） c 0.200 第五组   10 0.100 合计   100 1.00 （1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定a，b，c的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，在根据古典概型的计算公式求得概率． 【解答】解：（1）由频率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20 因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组人，第四组人，第五组人． 所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试． （2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2， 第五组的1名学生为C1．则从6名学生中抽取2名学生有15种可能： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）， 第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能 其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为． 【点评】本题考察频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题． 21. (本小题满分12分) 已知为等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）的前项和为，若成等比数列，求正整数的值 参考答案： 解：（1）设数列的公差为d，由题意得， 解得：           所以            （2）由（I）可得：      因成等比数列，所以 从而，即      Ks5u 解得：（舍去），因此.             略 22. 已知函数满足 (1）求函数值域 (2）当时，函数的最小值为7，求的最大值 参考答案： 设      (1）在（0，+）上是减函数     所以值域为（-，1） (2）  由 所以在上是减函数 或（不合题意舍去） 当时有最大值， 即