2022-2023学年江苏省南京市师范大学第二附属中学高三数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年江苏省南京市师范大学第二附属中学高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 平面向量与的夹角为，，，则＝（    ） A． B． C． 7 D． 3 参考答案： A 略 2. 函数的图象大致为（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 因为与不相等，所以函数不是偶函数，图象不关于纵轴对称，所以可排除，代，可排斥 ，故选D. 3.  设全集，集合，，则的值为（    ）． A．                B．            C．          D． 参考答案： 答案:C 4. 已知集合A={3，4，5，6}，B={a},若A∩B={6}，则a=(  ) A．3  B．4 C．5 D．6 参考答案： D 5. 若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 A．3                        B．5                        C．7                        D．10 参考答案： B 6. 定义在R上的函数满足：成立，且上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是（   ）     A． B． C． D． 参考答案： A 7. 已知sin (π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是(　　)    A．－79       B．－13        C.13         D.79 参考答案： A 8. 二项式的展开式中第8项是 A．-135               B．                C．               D． 参考答案： 答案：C 9. 在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0无实数根，则△ABC的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 参考答案： B 【考点】三角形的形状判断． 【分析】先运用正弦定理，把角化为边，再将方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△=4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，即可判断三角形形状． 【解答】解：由正弦定理，可得sinA=，sinB=，sinC=， 则关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0， 即为（1+x2）a+2xb+（1﹣x2）c=0 方程整理为（a﹣c）x2+2bx+a+c=0， 根据题意得△=4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， ∴a2＞b2+c2， ∴cosA＜0 ∴A为钝角， 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理，属于中档题． 10. 若函数在区间上单调递减，则取值范围是     (     ) A．      B．      C．       D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器成计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：034  743  738  636  964  736  614  698  637  162  332  616  804  560  111  410  959  774  246  762  428  114  572 042  533  237  322  707  360  751，据此估计获胜的概率为          ． 参考答案： 12. 在的展开式中, 的系数为        ． 参考答案：   试题分析：因,令,即,故的系数为. 考点：二项式定理及通项公式． 13. 设x，y满足约束条件，则的最小值是______. 参考答案： -3 【分析】 设，根据约束条件画出可行域，可知取最小值时，在轴截距最大；由图象可知当过时截距最大，求出点坐标，代入可得结果. 【详解】设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 则取最小值时，在轴截距最大 由图象可知，当过时，截距最大 由得： ，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果. 14. 展开式中含项的系数为         . 参考答案： 1 15. 已知，则                            . 参考答案： 2 16. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （     ）     参考答案： C 略 17. 已知P点在曲线上，曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为         。 参考答案： （1.0） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知（为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若有两个零点， （1）       求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：． 参考答案： （Ⅰ）的定义域为R，，……………………………1分 （1）当时，在R上恒成立，∴在R上为增函数；…………2分 （2）当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；………………………………………4分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数，不合题意； 当时， 的递增区间为，递减区间为， 又，当时，，∴有两个零点，则，解得；……………………7分 （2）由（Ⅱ）（1），当时，有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意，，不妨设． 要证，即证， 又，所以， 而在上递减，即证，………………………9分 又，即证，（）． 构造函数，……10分 ，∴在单调递增， ∴，从而， ∴，（），命题成立．…………………………………12分 19. 已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）； （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值； （3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】（1）设P（x，y），则P到圆的切线长为，利用勾股定理列方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程； （2）当t=时，轨迹C的方程化为：．可得曲线G的方程为．可得曲线G的渐近线方程为y=x，y=﹣x．设Q（x0，y0），P1（m， m），P2（n，﹣n），， =．可得m，n．又y02=2x02﹣5，利用数量积运算性质即可得出； （3）对曲线C得类型进行讨论，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等变换列不等式解出t的范围． 【解答】解：（1）圆（x+2）2+y2=1的圆心为M（﹣2，0），半径r=1， 设P（x，y），则P到圆的切线长为， ∴=t|x|， ∴（x+2）2+y2﹣1=t2x2， 整理得（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0． 则动点P的轨迹C的方程为：（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0． （2）当t=时，轨迹C的方程为﹣2x2+4x+3+y2=0，即． ∴曲线G的方程为． ∴曲线G的渐近线方程为y=x，y=﹣x． 设Q（x0，y0），P1（m， m），P2（n，﹣n）， ∴， =． ∴m=，n=， ∵，∴y02=2x02﹣5， ∴=（m﹣x0）（n﹣x0）+（m﹣y0）（﹣n﹣y0）=（m﹣x0）（n﹣x0）﹣（x0﹣m）?（x0﹣n） =（m﹣x0）（n﹣x0）， =??==． （3）曲线C的方程可化为（1﹣t2）（x+）2+y2=﹣3， 当0＜t＜1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，椭圆标准方程为+=1 ∴当Q为短轴端点时，∠F1QF2取得最大值，设∠F1QF2的最大值为α，则tan2===， ∴cosα==1﹣2t2， 若曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ，则θ＞α， ∴cosθ＜1﹣2t2，解得0＜t＜． 当t＞1时，曲线C为焦点在x轴的双曲线，∴0＜∠F1QF2≤π， ∴当0＜θ＜π时，曲线C上始终存在的Q使得∠F1QF2=θ． 综上，当0＜t＜时，曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ． 20.   设函数  （I）当m=2时，解不等式：≤1；  （Ⅱ）若不等式≤2的解集为{x|x≤－2}，求m的值。 参考答案： 21. （本题满分14分） 是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）                            ……………3分 (2)由图知， ………7分                         ……………9分 （3），     ………………………………………………………………10分   经观察得有根    ……………………………………………………11分 令，   …………………………………………12分 当时，，即在上是单调递增函数． 所以有唯一根． 当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数．……13分 所以是的唯一极小值点．极小值是．  ……………14分 略 22. 已知函数f（x）=a|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0）． （1）当a=2时，解不等式f（x）≤4； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）当a=2时，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（）=4利用解不等式f（x）≤4； （2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|= 所以，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增， 又f（0）=f（）=4，故f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤}．…（4分） （2）①若a＞1，f（x）=（a﹣1）|x﹣1|+|x﹣1|+|x﹣a|≥a﹣1， 当且仅当x=1时，取等号，故只需a﹣1≥1，得a≥2．…（6分） ②若a=1，f（x）=2|x﹣1|，f（1）=0＜1，不合题意．…（7分） ③若0＜a＜1，f（x）=a|x﹣1|+a|x﹣a|+（1﹣a）|x﹣a|≥a（1﹣a）， 当且仅当x=a时，取等号，故只需a（1﹣a）≥1，这与0＜a＜1矛盾．…（9分） 综上所述，a的取值范围是[2，+∞）．…（10分） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．